Question

如图所示，已知抛物线y=

1

4

x2-x+k的图象与y轴相交于点B（0，1），点C（m，n）在该抛物线图象上，且以BC为直径的⊙M恰好经过顶点A．
（1）求k的值；
（2）求点C的坐标；
（3）若点P的纵坐标为t，且点P在该抛物线的对称轴l上运动，试探索：
①当S₁＜S＜S₂时，求t的取值范围（其中：S为△PAB的面积，S₁为△OAB的面积，S₂为四边形OACB的面积）；
②当t取何值时，点P在⊙M上．（写出t的值即可）

Answer 1

分析：（1）由于抛物线的图象经过点B，那么点B的坐标满足该抛物线的解析式，将其代入即可求得k的值．
（2）若⊙M经过点A，则∠BAC必为直角（圆周角定理），过C作x轴的垂线，设垂足为D，那么△BAO∽△ACD，可设出点C的坐标，根据相似三角形所得比例线段，即可得到点C横、纵坐标的关系式，联立抛物线的解析式即可求得C点的坐标．
（3）①由于O、A、B、C四点的坐标已经确定，所以S₁、S₂都可求出，△ABP中，以|t|为底，B点横坐标为高，即可得到S，即S=|t|×

1

2

×2=|t|，因此S₁＜|t|＜S₂，将S₁、S₂的值代入上式，然后求出t的取值范围．（注意t应该分正、负两种情况考虑）
②若P在⊙M上，∠BPC=90°，即△BPC是直角三角形，可用坐标系两点间的距离公式求出△BPC的三边长，然后利用勾股定理求出t的值．

解答：解：（1）∵点B（0，1）在y=

1

4

x2-x+k的图象上，
∴1=

1

4

×02-0+k，（2分）
∴k=1．（3分）

（2）由（1）知抛物线为：
y=

1

4

x2-x+1即y=

1

4

(x-2)2，
∴顶点A为（2，0），（4分）
∴OA=2，OB=1；
过C（m，n）作CD⊥x轴于D，则CD=n，OD=m，
∴AD=m-2，
由已知得∠BAC=90°，（5分）
∴∠CAD+∠BAO=90°，又∠BAO+∠OBA=90°，
∴∠OBA=∠CAD，
∴Rt△OAB∽Rt△DCA，
∴

AD

OB

=

CD

OA

，即

m-2

1

=

n

2

（或tan∠OBA=tan∠CAD，

OA

OB

=

CD

AD

，即

2

1

=

n

m-2

），（6分）
∴n=2（m-2）；
又∵点C（m，n）在y=

1

4

(x-2)2上，
∴n=

1

4

(m-2)2，
∴2(m-2)=

1

4

(m-2)2，
即8（m-2）（m-10）=0，
∴m=2或m=10；当m=2时，n=0，当m=10时，n=16；（7分）
∴符合条件的点C的坐标为（2，0）或（10，16）．（8分）

（3）①依题意得，点C（2，0）不符合条件，
∴点C为（10，16）
此时S1=

1

2

OA×OB=1，
S₂=S_BODC-S_△ACD=21；（9分）
又∵点P在函数y=

1

4

(x-2)2图象的对称轴x=2上，
∴P（2，t），AP=|t|，
∴S=

1

2

OA×AP=AP=|t|（10分）
∵S₁＜S＜S₂，
∴当t≥0时，S=t，
∴1＜t＜21．（11分）
∴当t＜0时，S=-t，
∴-21＜t＜-1
∴t的取值范围是：1＜t＜21或-21＜t＜-1（12分）
②t=0，1，17（14分）

点评：此题考查了二次函数解析式的确定、圆周角定理、图形面积的求法、不等式以及相似三角形的性质等相关知识，综合性强，难度较大．