如图1.新定义:直线l1.l.l2.相交于点O.长为m的线段AB在直线l2上.点P是直线l1上一点.点Q是直线l上一点．若∠AQB=2∠APB.则我们称点P是点Q的伴侣点,(1)如图1.直线l2.l的夹角为30°.线段AB在点O右侧.且OA=1.m=2.若要使得∠APB=45°且满足点P是点Q的伴侣点.则OQ=$\sqrt{3}$,(2)如图2.若直线l1.l2的夹角为60°.且m=3.若要使得∠APB=30°.线� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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9．如图1，新定义：直线l₁、l、l₂，相交于点O，长为m的线段AB在直线l₂上，点P是直线l₁上一点，点Q是直线l上一点．若∠AQB=2∠APB，则我们称点P是点Q的伴侣点；
（1）如图1，直线l₂、l的夹角为30°，线段AB在点O右侧，且OA=1，m=2，若要使得∠APB=45°且满足点P是点Q的伴侣点，则OQ=$\sqrt{3}$；
（2）如图2，若直线l₁、l₂的夹角为60°，且m=3，若要使得∠APB=30°，线段AB在直线l₂上左右移动．
①当OA的长为多少时，符合条件的伴侣点P有且只有一个？请说明理由；
②是否存在符合条件的伴侣点P有三个的情况？若存在，请直接写出OA长；若不存在，请说明理由．

分析（1）利用在一个圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，构造图形，确定出点Q位置，判断出直线l与圆M相切即可；
（2）①利用在一个圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的一半，构造图形，确定出点P位置，用三角函数计算即可；
②利用在一个圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的一半，构造图形，确定出点P位置，再用三角函数计算即可．

解答解：（1）如图1，

取线段AB的中点M，过M作MQ⊥l，
∵∠BOQ=30°，OM=OA+$\frac{1}{2}$AB=2，OQ=$\sqrt{3}$，
∴MQ=1，
以M点为圆心1为半径的⊙M过点A，B，Q，
∴∠AQB=90°，
∵∠APB=45°，
∴∠AQB=2∠APB=90°，
∴此时的Q满足点P是点Q的伴侣点，OQ=$\sqrt{3}$，
故答案为$\sqrt{3}$，
（2）①如图2，

当直线l₁与⊙C相切于点P，且A在O的右侧时，
则∠APB=30°．
连接CP，过A作AD⊥l₁于D．
则AD=CP=3，
∴OA=$\frac{AD}{sin60°}$=2$\sqrt{3}$，
如图3，

当直线l₁与⊙C相切于点P，且A在O的左侧时，
则∠APB=30°．
连结CP，过B作BE⊥l₁于E．
则BE=CP=3，
∴OB=$\frac{BE}{sin60°}$=2$\sqrt{3}$．
∴OA=2$\sqrt{3}$+3．
综上所述，当A在O的右侧，OA=2$\sqrt{3}$或A在O的左侧，OA=2$\sqrt{3}$+3时，符合条件的点P有且只有一个
②存在，
如图4，

当直线l₁与⊙C₁相交于点P₁、P₂，与⊙C₂相切于点P₃时连结C₂P₃，
过O作OF⊥BC₂于F，则OF=C₂P₃=3，
∴OB=$\frac{BE}{sin60°}$=2$\sqrt{3}$，
∴OA=2$\sqrt{3}$-3，
如图5，

当直线l₁与⊙C₁相切于点P₁，与⊙C₂相交于点P₂、P₃时连接C₁P₁，
过A作AG⊥l₁于G
则AG=C₁P₁=3，
∴OA=$\frac{AG}{sin60°}$=2$\sqrt{3}$，
综上所述，当A在O的右侧，OA=2$\sqrt{3}$-3或A在O的左侧，OA=2$\sqrt{3}$时，符合条件的点P有三个．

点评此题是圆的综合题，主要考查了同圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，圆的切线的判断方法，解本题的关键是做出图新找出点P的位置，也是本题的难点．

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