Question

如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA=1cm，∠AOB=120°，⊙O上一动点P从A点出发，沿逆时针方向运动到B点，当S_△POA=S_△AOB时，则点P所经过的弧长（不考虑点P与点B重合的情形）是

 

．

Answer 1

分析：过O点作OC⊥AB于C，由OA=1cm，∠AOB=120°，可计算出S_△AOB，而S_△POA=S_△AOB，得到P点到OA的距离，得到OA与OP的夹角，再利用弧长公式即可计算出P点所经过的弧长．

解答：解：如图，过O点作OC⊥AB于C，则AC=BC，
∵OA=1cm，∠AOB=120°，
∴∠OAC=30°，
∴OC=

1

2

，AC=

3

2

，
∴AB=

3

，
∴S_△AOB=

1

2

•

3

•

1

2

=

3

4

，
而S_△POA=S_△AOB，OA=1，
∴P点到OA的距离为

3

2

，
∵OP=1，
∴∠AOP=60°或120°，
点P所经过的弧长为

60•π•1

180

=

π

3

或

120•π•1

180

=

2π

3

．
故答案为：

π

3

或

2π

3

．

点评：本题考查了弧长公式：l=

n•π•R

180

；也考查了垂径定理、含30度的直角三角形三边的关系以及三角形的面积公式．