Question

5．如图，已知抛物线y=-$\frac{5}{24}$x²+bx+c分别与x轴、y轴交于点A（-6，0）、B（0，8）．已知点C（4，m）在抛物线上，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，AC与y轴交于点E．
（1）请给出抛物线解析式；
（2）若令∠BAO=α，请求tan$\frac{α}{2}$的值；（注：要求运用课本所学知识结合题中几何关系进行推导求值）．
（3）如图2，点P为线段CD上一动点（不与C、D重合），延长PE与x轴交于点M，点N′为AB上点，且∠PMN=∠BAO，若点P横坐标记为x，AN长度记为y，请求出y关于x的函数解析式，并求出AN长度取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线y=-$\frac{5}{24}$x²+bx+c分别与x轴、y轴交于点A（-6，0）、B（0，8），可以求得b、c的值，从而可以得到函数的解析式；
（2）由∠BAO=α，要求tan$\frac{α}{2}$的值，只要从图中可以找到等于$\frac{α}{2}$的角即可，过点C作CH⊥x轴于点H，只要证明∠BAC=∠HAC即可，根据题目中的信息，可以证明这两个角相等，从而可以求得tan$\frac{α}{2}$的值；
（3）要想求y与x之间的函数关系式，只要作出合适的辅助线，用题目中的数量关系可以表示出y与x之间函数关系．进而可以确定y的取值范围．

解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{5}{24}$x²+bx+c分别与x轴、y轴交于点A（-6，0）、B（0，8），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{4}{25}×（-6）^{2}+（-6）×b+c=0}\\{c=8}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{1}{12}}\\{c=8}\end{array}\right.$，
即抛物线的解析式为：y=-$\frac{5}{24}$x²+$\frac{1}{12}$x+8；
（2）如图1所示，过点C作CH⊥x轴于点H，
∵点C（4，m）在抛物线上，
∴$m=-\frac{5}{24}×{4}^{2}+\frac{1}{12}×4+8$，得m=5，
∴点C（4，5），
又∵点A（-6，0），点B（0，8），
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}=10$，BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}=5$，
∵CH=5，AH=AO+OH=6+4=10，AC=AC，
∴AB=AH，BC=HC，
∴△ABC≌△AHC，
∴∠BAC=∠HAC，
∵∠BAO=∠BAC+∠HAC，
∴∠HAC=$\frac{1}{2}∠BAO=\frac{1}{2}α$，
∴tan$\frac{α}{2}=tan∠HAC=\frac{CH}{AH}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$；
（3）如图2，作MQ⊥AB于点Q，
∵∠NMO=∠PMN+∠PMO=∠BAO+∠ANM，
又∵∠PMN=∠BAO，
∴∠PMO=∠ANM，
∵CH∥EO，在图1中，$\frac{OE}{CH}=\frac{OA}{AH}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
∴OE=$\frac{3}{5}CH=\frac{3}{5}×5=3$，
∵BD=8-5=3，
∴OE=OB-BD-OE=8-3-3=2，
∵点P横坐标为x，即PD=x，
∴tan∠EMO=tan∠DPE=$\frac{DE}{DP}=\frac{2}{x}$，
∴$\frac{OE}{OM}=\frac{DE}{DP}$，
即$\frac{3}{OM}=\frac{2}{x}$，得OM=$\frac{3x}{2}$，
∴AM=OA-OM=6-$\frac{3x}{2}$，
在Rt△QAM中，sin∠QAM=$\frac{OB}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$，
cos∠QAM=$\frac{OA}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
∴QM=AM•sin∠QAM=（6-$\frac{3x}{2}$）$•\frac{4}{5}$，AQ=AM•cos∠QAM=$（6-\frac{3x}{2}）•\frac{3}{5}$，
∵在Rt△QNM中，$\frac{QM}{QN}=tan∠QNM=tan∠EMO=\frac{2}{x}$，
即QN=QM$•\frac{x}{2}=（6-\frac{3x}{2}）•\frac{x}{2}$$•\frac{4}{5}$，
∴AN=AQ+QN=$（6-\frac{3x}{2}）•\frac{3}{5}+（6-\frac{3x}{x}）•\frac{4}{5}•\frac{x}{2}$，
化简，得$y=-\frac{3}{5}{x}^{2}+\frac{3x}{2}+\frac{18}{5}=-\frac{3}{5}（x-\frac{5}{4}）^{2}+\frac{363}{80}$，
∴当x=$\frac{5}{4}$时，y取得最大值$\frac{363}{80}$，
∵y＞0，
∴AN的取值范围是：$0＜AN≤\frac{363}{80}$．

点评 本题考查二次函数综合题，解题的关键是明确题意，找出题目中的数量关系，作出合适的辅助线，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答问题，充分运用锐角函数值表示题目中的数量关系．