Question

15．如图，已知直线l经过点A（0，-1），与双曲线y=$\frac{m}{x}$（x＞0）交于点B（2，1）．点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线分别交双曲线y=$\frac{m}{x}$（x＞0）和y=-$\frac{m}{x}$（x＞0）于点M、N．
（1）求m的值和直线l的解析式；
（2）求S_△AMN；
（3）是否存在点P，使得S_△AMP=$\frac{1}{4}$S_△AMN？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求得m和直线l的解析式；
（2）当P的横坐标是a时，即可表示出M、N的坐标，则MN的长可以利用a表示出来，然后利用三角形的面积公式求解；
（3）S_△AMP=$\frac{1}{4}$S_△AMN，则MP=$\frac{1}{4}$MN，利用a表示出MP和MN的长，即可列方程求解．

解答 解：（1）把（2，1）代入y=$\frac{m}{x}$得：m=2；
设直线AB的解析式是y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{2k+b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
则一次函数的解析式是y=x-1；
（2）当P的横坐标是a时，把x=a代入y=$\frac{2}{x}$得y=$\frac{2}{a}$，则M的坐标是（a，$\frac{2}{a}$），同理N的坐标是（a，-$\frac{2}{a}$）．
则MN=$\frac{4}{a}$．
则S_△AMN=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{a}$×a=2；
（3）S_△AMP=$\frac{1}{4}$S_△AMN，
则MP=$\frac{1}{4}$MN，
即（$\frac{2}{a}-（a-1）$=$\frac{1}{4}$×$\frac{4}{a}$，
解得：a=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
则P的坐标是（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确利用a表示出MN以及MP的长度是关键．