Question

13．如图，矩形ABCD中，AD=4，AB=3，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，连接BE、DF，以B为原点建立平面直角坐标系．
（1）试判断四边形BFDE的形状，并说明理由；
（2）求直线EF的解析式；
（3）在直线EF上是否存在一点P使它到x轴、y轴的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）四边形BFDE是菱形，理由如下：由折叠可得DE=BE，DF=BF，∠DEF=∠BEF，再由ABCD为矩形，得到AD与BC平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=BF，进而得到四条边相等，即可得证；
（2）设AE=x，则有ED=4-x，即BE=4-x，在直角三角形AEB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出E、F坐标，利用待定系数法确定出直线EF解析式即可；
（3）存在，理由为：设出P（x，y），表示出P到x轴、y轴的距离分别为|y|、|x|，根据P使它到x轴、y轴的距离相等，得到|x|=|y|，即y=x和y=-x，与直线EF解析式联立组成方程组，求出方程组的解即可得到P的坐标．

解答 解：（1）四边形BFDE是菱形，理由如下：
由题意可知：DE=BE，DF=BF，∠DEF=∠BEF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠BFE，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BE=BF，
∴BE=BF=DF=DE，
∴四边形BFDE是菱形；
（2）设AE=x，
∵AD=4，AB=3，
∴BE=DE=4-x，
在Rt△ABE中，∠BAE=90°，
∴AB²+AE²=BE²，
∴3²+x²=（4-x）²，
解得：x=$\frac{7}{8}$，
∴AE=$\frac{7}{8}$，BF=$\frac{25}{8}$，
∴E点的坐标是（$\frac{7}{8}$，3），点F的坐标是（$\frac{25}{8}$，0），
设直线EF的解析式为y=kx+b，
可得方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{7}{8}k+b=3}\\{\frac{25}{8}k+b=0}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x+\frac{25}{6}}\\{y=x}\end{array}\right.$，
解这个方程组得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{25}{6}}\end{array}\right.$，
∴直线EF的解析式是y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{25}{6}$；
（3）存在，理由为：
设点P的坐标为（x，y）则点P到x、y轴的距离分别为|y|、|x|，
令|x|=|y|，得到y=x或y=-x，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x+\frac{25}{6}}\\{y=x}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x+\frac{25}{6}}\\{y=-x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{25}{14}}\\{y=\frac{25}{14}}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{25}{2}}\\{y=-\frac{25}{2}}\end{array}\right.$，
则在直线EF上存在两个到坐标轴的距离相等点P，坐标分别是（$\frac{25}{14}$，$\frac{25}{14}$），（$\frac{25}{2}$，-$\frac{25}{2}$）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，矩形的性质，以及菱形的判定，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．