Question

已知常数a为实数，讨论关于x的方程（a-2）x²+（-2a+1）x+a=0的实数根的个数情况．

Answer 1

考点：根的判别式

专题：计算题,分类讨论

分析：分类讨论：当a-2=0，即a=2时，方程变为一元一次方程，所以有一个根；当a-2≠0，即a≠2时，先计算△=（-2a+1）²-4a（a-2）=4a+1，△=4a+1＞0，原方程有两个不相等的实数根；△=4a+1=0，原方程有两个相等的实数根；△=4a+1＜0，原方程没有实数根；分别可求出对应的a的值或取值范围，最后综合表述即可．

解答：解：当a-2=0，即a=2时，
方程变为：-3x+2=0，
解得x=

2

3

．
当a-2≠0，即a≠2时，
△=（-2a+1）²-4a（a-2）=4a+1，
若4a+1＞0，即a＞-

1

4

时，原方程有两个不相等的实数根；
若4a+1=0，即a=-

1

4

时，原方程有两个相等的实数根；
若4a+1＜0，即a＜-

1

4

时，原方程没有实数根．
综上所述得：当a＜-

1

4

时，原方程没有实数根；当a=-

1

4

时，原方程有两个相等的实数根；当a＞-

1

4

且a≠2时，原方程有两个不相等的实数根；当a=2时，方程有一个实数根．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．