Question

如图，已知半圆O的直径AB=4，将一个三角板的直角顶点固定在圆心O上，当三角板绕着点O转动时，三角板的两条直角边与半圆圆周分别交于C、D两点，连接AD、BC交于点E．
（1）求证：△ACE∽△BDE；
（2）求证：BD=DE恒成立；
（3）设BD=x，求△AEC的面积y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据圆周角定理的推论得到两个角相等，即证明三角形相似；
（2）根据圆周角定理得到∠B=45°，根据圆周角定理的推论得到∠BDE=90°，从而得到等腰直角三角形；
（3）在直角三角形ABD中，根据勾股定理表示出AD的长，再进一步表示AE的长，根据等腰直角三角形的性质进行分析计算．

解答：（1）证明：∵∠ACB与∠ADB都是半圆所对的圆周角，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵∠AEC=∠DEB（对顶角相等）．
所以△ACE∽△BDE

（2）证明：∵∠DOC=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°
∴∠BAD+∠ABC=

1

2

（∠AOC+∠BOD）=45°
∴∠BED=∠BAD+∠ABC=45°．
又∵∠BDE=90°，
∴△BED是等腰直角三角形，
∴BD=DE．

（3）解：∵BD=x，BD=DE，
∴DE=x，AD=

42-x2

，
∴AE=AD-DE=

16-x2

-x．
∵△ACE∽△BDE，
∴△AEC也是等腰直角三角形，
∴AC=

2

2

AE=

2

2

（

16-x2

-x）
∵△ACE∽△BDE，
∴AC=EC．
∴y=

1

2

AC×EC=

1

2

AC²=

1

4

（

42-x2

-x）²=4-

1

2

x

16-x2

，
点C与点A重合时，点D为AB弧的中点，此时BD=

4

2

×

2

=2

2

，
所以，x的取值范围为：0≤x≤2

2

．

点评：此题要能够熟练运用圆周角定理的推论以及相似三角形的性质和判定，能够根据勾股定理表示出相关的边．