(1)如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.
①∠AEB的度数为 ;
②线段AD,BE之间的数量关系为 ;
(2)如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE,请判断∠AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系,并说明理由;
(3)如图3,在正方形ABCD中,CD=,若点P满足PD=1,且∠BPD=90°,请求出点A到BP的距离.
【解析】
(1)①60°.
②AD=BE.
(2)∠AEB=90°,AE=BE+2CM.
理由:如图2,
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,
∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°.
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,
∴△ACD≌△BCE.
∴AD=BE,∠ADC=∠BEC.
∵△DCE为等腰直角三角形,
∴∠CDE=∠CED=45°.
∵点A,D,E在同一直线上,
∴∠ADC=135°.
∴∠BEC=135°.
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°.
∵CD=CE,CM⊥DE,
∴DM=ME.
∵∠DCE=90°,
∴DM=ME=CM.
∴AE=AD+DE=BE+2CM.
(3)∵PD=1,
∴点P在以点D为圆心,1为半径的圆上.
∵∠BPD=90°,
∴点P在以BD为直径的圆上.
∴点P是这两圆的交点.
①当点P在如图3①所示位置时,
连接PD、PB、PA,作AH⊥BP于H,
过点A作AE⊥AP,交BP于点E,如图3①.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ADB=45°,CD=,∴BD=2.
∵DP=1,∴BP=.
∵A、P、D、B四点共圆,∴∠APB=∠ADB=45°.
∴△PAE是等腰直角三角形.
又∵△BAD是等腰直角三角形, AH⊥BP,
∴由(2)中的结论可得:BP=2AH+PD.
∴AH=.
②当点P在如图3②所示位置时,
连接PD、PB、PA,作AH⊥BP于H,
过点A作AE⊥AP,交PB的延长线于点E,如图3②.
同理可得:BP=2AH﹣PD.
∴AH=.
综上所述:点A到BP的距离为或.
【解析】
试题分析:(1)根据已知条件易证△ACD≌△BCE,可得AD=BE,∠ADC=∠BEC.由点A,D,E在同一直线上可求出∠ADC,从而可求∠AEB的度数.(2)仿照(1)中的解法可求出∠AEB的度数,证出AD=BE;由△DCE为等腰直角三角形及CM为△DCE中DE边上的高可得CM=DM=ME,即可证出AE=2CH+BE.(3)由PD=1可得:点P在以点D为圆心,1为半径的圆上;由∠BPD=90°可得:点P在以BD为直径的圆上.显然,点P是这两个圆的交点,由于两圆有两个交点,故需对两个位置分别进行讨论.添加适当的辅助线,借助(2)中的结论即可解决问题.
考点:圆的综合题;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;等边三角形的性质;直角三角形斜边上的中线的性质;正方形的性质;圆周角定理.
科目:初中数学 来源:2014-2015学年福建省九年级上学期期中考试数学试卷(解析版) 题型:解答题
(9分)在一幅长8分米,宽6分米的矩形风景画(如图①)的外面四周镶宽度相同的金色纸边,制成一幅矩形挂图(如图②)如果要使整个挂图的面积是80平方分米,求金色纸边的宽.
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科目:初中数学 来源:2014-2015学年福建省龙岩市分校九年级上学期第三次阶段考试数学试卷(解析版) 题型:选择题
如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形。若OA:OC=OB:OD,则下列结论中一定正确的是( )
A.①与②相似 B.①与③相似
C.①与④相似 D.②与④相似
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科目:初中数学 来源:2014-2015学年福建省福安市小片区九年级上学期半期考试数学试卷(解析版) 题型:填空题
Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8cm,则BC=__________。
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科目:初中数学 来源:2014-2015学年福建省福安市小片区九年级上学期半期考试数学试卷(解析版) 题型:选择题
一个材质均匀的正方体的六个面分别标有文字“祝、你、天、天、快、乐”,其表面展开图如图所示,随机抛掷这个正方体,“天”字朝上的概率是( )
A. B. C. D.
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科目:初中数学 来源:2014-2015学年北京市平谷区九年级上学期期末考试数学试卷(解析版) 题型:解答题
如图,BC为⊙O的直径,以BC为直角边作Rt△ABC,∠ACB=90°,斜边AB与⊙O交于点D,过点D作⊙O的切线DE交AC于点E,DG⊥BC于点F,交⊙O于点G.
(1)求证:AE=CE;
(2)若AD=4,AE=,求DG的长.
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科目:初中数学 来源:2014-2015学年北京市平谷区九年级上学期期末考试数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知:如图,D是AC上一点,DE∥AB,∠B=∠DAE.
(1)求证:△ABC∽△DAE;
(2)若AB=8,AD=6,AE=4,求BC的长.
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科目:初中数学 来源:2014-2015学年北京市九年级上学期期中检测数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知:△OBC内接于圆,圆与直角坐标系的x、y轴交于B、A两点,若∠BOC=45°,∠OBC=75°,A点坐标为(0,).
求:⑴B点的坐标;
⑵BC的长.
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