Question

如下图，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，D与原点重合，对角线BD所在的直线的函数表达式为y＝，BD的中点为M，AD＝8．矩形ABCD沿DB方向以每秒1个单位长度运动，同时P点从A点出发，绕矩形ABCD逆时针运动一周所用时间为28秒．

(1)求矩形ABCD的周长；

(2)出发5秒后，点P的坐标是多少？

(3)点P从A运动到B所经过的路线是一条线段，请求出线段所在直线的表达式；

(4)当P在BC上运动时，t为何值时，∠PMO是直角；

(5)当P在线段BC上运动时，写出△OPC的面积(用含t的代数式表示)．t为何值时，△OPC的面积最大？

Answer 1

答案：
解析：

AD＝8，B点在y＝x上，则y＝6，AB＝6，矩形的周长为28　　2分 　　(2)∵P点绕矩形一周的时间为28秒，因此P点的速度为每秒1个单位，出发5秒后 　　OD＝5，∴D点坐标为(4，3)，　　1分 　　B点坐标为(12，3)，此时P点从A向上走了5个单位， 　　则P点的坐标为(12，8)　　1分 　　(3)P点运动的前的位置为(8，0)，5秒后运动到(12，8)，已知它运动的路线是一条线段， 　　设线段所在直线的表达式为y＝kx＋b， 　　∴，解得，∴直线表达式为y＝2x－16　　2分 　　(4)当P在BC上时，，6≤t≤14，PB＝6－t，BM＝5　　1分 　　当∠PMO是直角时，∠PMB＝90°，则有△PMB∽△DCB，∴　　2分 　　AD＝BC＝8，BD＝10，∴，t＝，即当t＝秒时，∠PMO＝90°．　　1分 　　(5)P在BC上时，6≤t≤14，此时OD＝t，CP＝14－t 　　∴D(，)，∴B(＋8，＋6)　　1分 　　∴S△OPC＝(14－t)(＋6)＝－＋42，(6≤t≤14)　　2分 　　∴△OPC的面积变化规律是一个开口向下的抛物线，对称轴为t＝2， 　　所以t＝6时△OPC的面积最大．　　1分