Question

已知抛物线y=

1

4

x²+1（如图所示）．
（1）填空：抛物线的顶点坐标是（______，______），对称轴是______；
（2）已知y轴上一点A（0，2），点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点M在直线AP上．在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）顶点坐标是（0，1），对称轴是y轴（或x=O）．

（2）∵△PAB是等边三角形，
∴∠ABO=90°-60°=30°．
∴AB=20A=4．
∴PB=4．
解法一：把y=4代入y=

1

4

x²+1，
得x=±2

3

．
∴P₁（2

3

，4），P₂（-2

3

，4）．
解法二：∴OB=

AB2-OA2

=2

3

∴P₁（2

3

，4）．
根据抛物线的对称性，得P₂（-2

3

，4）．

（3）∵点A的坐标为（0，2），点P的坐标为（2

3

，4）
∴设线段AP所在直线的解析式为y=kx+b
∴

b=2 2 3 k+b=4

解得：

k= 3 3 b=2

∴解析式为：y=

3

3

x+2
设存在点N使得OAMN是菱形，
∵点M在直线AP上，
∴设点M的坐标为：（m，

3

3

m+2）
如图，作MQ⊥y轴于点Q，则MQ=m，AQ=OQ-OA=

3

3

m+2-2=

3

3

m
∵四边形OAMN为菱形，
∴AM=AO=2，
∴在直角三角形AMQ中，AQ²+MQ²=AM²，
即：m²+（

3

3

m）²=2²
解得：m=±

3

代入直线AP的解析式求得y=3或1，
当P点在抛物线的右支上时，分为两种情况：
当N在右图1位置时，
∵OA=MN，
∴MN=2，
又∵M点坐标为（

3

，3），
∴N点坐标为（

3

，1），即N₁坐标为（

3

，1）．
当N在右图2位置时，
∵MN=OA=2，M点坐标为（-

3

，1），
∴N点坐标为（-

3

，-1），即N₂坐标为（-

3

，-1）．
当P点在抛物线的左支上时，分为两种情况：
第一种是当点M在线段PA上时（PA内部）我们求出N点坐标为（-

3

，1）；
第二种是当M点在PA的延长线上时（在第一象限）我们求出N点坐标为（

3

，-1）
∴存在N₁（

3

，1），N₂（-

3

，-1）N₃（-

3

，1），N₄（

3

，-1）使得四边形OAMN是菱形．