Question

3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在AB的垂直平分线上，∠DAB=15°且AD=10cm，求BC的长．

Answer 1

分析 延长AD与BC相交于点E，点D在AB的垂直平分线上，得AD=BD，DE=BE，利用含30°角直角三角形的性质和等腰三角形的性质，代入得出结论．

解答 解：延长AD与BC相交于点E，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠BAC=ABC=45°，
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴AD=BD=10，
∴∠DAB=∠DBA=15°，
∴∠BDE=30°，
∠DBC=30°，
∴DE=BE，
设DE=BE=x，
∴AE=10+x，CE=$\frac{10+x}{2}$，
BC=x+$\frac{10+x}{2}$，
AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}（10+x）$，
∴x+$\frac{10+x}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（10+x），
解得：x=$\frac{10}{3}\sqrt{3}$，
BC=（5$\sqrt{3}$+5）cm

点评 本题主要考查了等腰三角形的性质，含30°角直角三角形的性质等，延长AD构建直角三角形是解决此题的关键．