Question

某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设公司获得的总利润（总利润=总销售额-总成本）为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；根据题意判断：当x取何值时，P的值最大？最大值是多少？
（3）若公司要保证利润不能低于4000元，则销售单价x的取值范围为多少元（可借助二次函数的图象解答）？

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）直接利用待定系数法求一次函数解析式得出即可；
（2）利用总利润=总销售额-总成本，进而得出P与x的函数关系式，进而得出最值；
（3）利用二次函数的增减性得出x的取值范围即可．

解答：解：（1）设y与x的函数关系式为：y=kx+b，
∵函数图象经过点（60，400）和（70，300），
∴

400=60k+b 300=70k+b

，
解得

k=-10 b=1000

．
故y与x之间的函数关系式为：y=-10x+1000．  
                        
（2）由题意可得出：
P=（x-50）（-10x+1000）
=-10x²+1500x-50000，
自变量取值范围：50≤x≤70．                     
∵-

b

2a

=-

1500

-20

=75，a=-10＜0．
∴函数P=-10x²+1500x-50000图象开口向下，对称轴是直线x=75． 
∵50≤x≤70，此时y随x的增大而增大，
∴当x=70时，P_最大值=6000．      
                
（3）由p≥4000，
当P=4000时，4000=-10x²+1500x-50000，
解得：x₁=60，x₂=90，
∵a=-10＜0，
∴得60≤x≤90，又50≤x≤70；
故60≤x≤70．

点评：此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式和二次函数增减性等知识，利用二次函数增减性得出是解题关键．