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我们学过圆内接三角形,同样,四个顶点在圆上的四边形是圆内接四边形,下面我们来研究它的性质.
(I)如图(1),连接AO、OC,则有∠B=
1
2
∠1
∠D=
1
2
∠2
.∵∠1+∠2=360°∴∠B+∠D=
1
2
×360°=180°
,同理∠BAD+∠BCD=180°,即圆内接四边形对角(相对的两个角)互补.
(II)在图(2)中,∠ECD是圆内接四边形ABCD的一个外角,请你探究外角∠DCE与它的相邻内角的对角(简称内对角)∠A的关系,并证明∠DCE与∠A的关系.
(III)应用:请你应用上述性质解答下题:如图(3)已知ABCD是圆内接四边形,F、E分别为BD、AD延长线上的点,如果DE平分
∠FDC,求证:AB=AC.
分析:(II)由(I)可知:∠A+∠BCD=180°,又由邻补角的定义,可得∠DCE+∠BCD=180°,继而可证得∠DCE=∠A;
(III)由(II)易证得∠2=∠ABC,又由对顶角相等与圆周角定理,可证得∠1=∠ACB,又因为DE平分∠FDC,即可证得∠ABC=∠ACB,根据等角对等边的性质,即可证得AB=AC.
解答:(II)解:∠DCE=∠A.
证明:∵四边形ABCD是圆内接四边形,
∴∠A+∠BCD=180°,
∵∠DCE+∠BCD=180°,
∴∠DCE=∠A;

(III)证明:∵四边形ABCD是圆内接四边形,
∴∠2=∠ABC,
∵∠1=∠ADB,∠ADB=∠ACB,
∴∠1=∠ACB,
∵DE平分∠FDC,
∴∠1=∠2,
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC.
点评:此题考查了圆的内接四边形的性质、圆周角定理以及等腰三角形的判定.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

我们学过圆内接三角形,同样,四个顶点在圆上的四边形是圆内接四边形,下面我们来研究它的性质.
(I)如图(1),连接AO、OC,则有数学公式数学公式.∵∠1+∠2=360°∴数学公式,同理∠BAD+∠BCD=180°,即圆内接四边形对角(相对的两个角)互补.
(II)在图(2)中,∠ECD是圆内接四边形ABCD的一个外角,请你探究外角∠DCE与它的相邻内角的对角(简称内对角)∠A的关系,并证明∠DCE与∠A的关系.
(III)应用:请你应用上述性质解答下题:如图(3)已知ABCD是圆内接四边形,F、E分别为BD、AD延长线上的点,如果DE平分
∠FDC,求证:AB=AC.

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