Question

如图，在等边△ABC的边AB上任意取一点D，作等边△CDE．
（1）求证：AE∥BC．
（2）若已知等边△ABC的边长是2，点D恰好是AB边的中点，求四边形求ABCE的周长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）根据等边三角形的性质可得BC=AC，DC=EC，∠BCA=∠DCE=60°，再求出∠BCD=∠ACE，然后利用“边角边”证明△BCD和△ACE全等，再根据全等三角形对应角相等可得∠CAE=∠CBD=60°，从而得到∠CAE=∠ACB，再根据内错角相等，两直线平行证明即可；
（2）根据线段中点的定义求出BD=AD=1，再利用勾股定理列式求出CD，然后根据全等三角形对应边相等可得AE=BD，CE=CD，再根据四边形周长的定义解答．

解答：（1）证明：在等边三角形△ABC和等边三角形△CDE中，
BC=AC，DC=EC，∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCA-∠ACD=∠DCE-∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，

AC=BC ∠BCD=∠ACE DC=EC

，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠CAE=∠CBD=60°，
∴∠CAE=∠ACB，
∴AE∥BC；

（2）解：在等边三角形△ABC中，∵BD=AD，
∴∠BDC=90°且BD=1，
在△BCD中，由勾股定理得，CD=

22-12

=

3

，
∵△BCD≌△ACE，
∴AE=BD=1，CE=CD=

3

，
∴四边形ABCE的周长=2+2+1+

3

=5+

3

．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键，确定出∠BCD=∠ACE是本题的难点．