【题目】如图,点O是△ABC内一点,连结OB、OC,并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结,得到四边形DEFG.
(1)求证:四边形DEFG是平行四边形;
(2)若M为EF的中点,OM=3,∠OBC和∠OCB互余,求DG的长度.
【答案】
(1)证明:∵D、G分别是AB、AC的中点,
∴DG//BC,DG= BC,
∵E、F分别是OB、OC的中点,
∴EF//BC,EF= BC,
∴DG=EF,DG//EF,
∴四边形DEFG是平行四边形
(2)解:∵∠OBC和∠OCB互余,
∴∠OBC+∠OCB=90°,
∴∠BOC=90°,
∵M为EF的中点,OM=3,
∴EF=2OM=6.
由(1)有四边形DEFG是平行四边形,
∴DG=EF=6
【解析】(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF//BC且EF= BC,DG//BC且DG= BC,从而得到DE=EF,DG//EF,再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可;(2)先判断出∠BOC=90°,再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,求出EF即可.
【考点精析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质的相关知识点,需要掌握若一直线过平行四边形两对角线的交点,则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点,并且这两条直线二等分此平行四边形的面积才能正确解答此题.
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【题目】如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,且∠ABC+∠ADC=180°.
(1)求证:四边形ABCD是矩形.
(2)若∠ADF:∠FDC=3:2,DF⊥AC,则∠BDF的度数是多少?
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【题目】大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可 以证明一类含有线段的等式,这种解决问题的方法我们称之为面积法.学有所用:在等腰 三角形 ABC中,AB=AC,其一腰上的高为h,M 是底边BC上的任意一点,M 到腰AB、AC 的距离分别为 h1、h2 .
(1)请你结合图形来证明: h1+h2=h;
(2)当点M在BC延长线上时,h1、h2、h 之间又有什么样的结论.请你画出图形,并直
接写出结论不必证明;
(3)利用以上结论解答,如图在平面直角坐标系中有两条直线l1:y=x+3,l2:y=-3x+3
若 l2上的一点M 到l1的距离是,求点 M 的坐标.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=2,点P是这个菱形内部或边上的一点,若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形,则P、D(P、D两点不重合)两点间的最短距离为 .
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【题目】某剧院的观众席的座位为扇形,且按下列分式设置:
排数(x) | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
座位数(y) | 50 | 53 | 56 | 59 | … |
(1)按照上表所示的规律,当x每增加1时,y如何变化?
(2)写出座位数y与排数x之间的关系式;
(3)按照上表所示的规律,某一排可能有90个座位吗?说说你的理由.
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【题目】如图(1),已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点,连接EB,过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM交BD于点F.
(1)求证:OE=OF;
(2)如图(2),若点E在AC的延长线上,AM⊥BE于点M,交DB的延长线于点F,其他条件不变,则结论“OE=OF”还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.
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【题目】如图,点C在线段AB上,AC=8 cm,CB=6 cm,点M,N分别是AC,BC的中点.
(1)求线段MN的长.
(2)若C为线段AB上任一点,满足AC+CB=a cm,其他条件不变,你能猜想MN的长度吗?(用含a的代数式表示)并说明理由.
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【题目】在数学课上,林老师在黑板上画出如图所示的△ABD和△ACE两个三角形,并写出四个条件:①AB=AC;②AD=AE;③∠1=∠2;④∠B=∠C.请你从这四个条件中选出三个作为题设,另一个作为结论,组成一个真命题,并给予证明.
题设:___________;结论:_______.(均填写序号)
证明:
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