Question

如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于点D，且∠D=∠BAC.
小题1:求证：AD是半圆O的切线；
小题2:若BC=2，CE=，求AD的长.

Answer 1

小题1:见解析。
小题2:

（1）证明：∵AB为半圆O的直径，∴∠BCA=90°．
又∵BC∥OD，∴OE⊥AC．
∴∠D+∠DAE=90°．
∵∠D=∠BAC，
∴∠BAC+∠DAE=90°．
∴OA⊥OD
∴AD是半圆O的切线．             
（2）解：∵BC∥OD，∴△AOE∽△ABC，
∴，
又∵BA=2AO，CE=，∴AC=2CE=2．
在Rt△ABC中， AB=，
∵∠D=∠BAC，∠ACB=∠DAO=90°，
∴△DOA∽△ABC．
∴ 即．
∴AD=．