Question

12．如图，正方形ABGD中，AB=AD=6，梯形ABCD中，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF．
（1）证明：EF=CF；
（2）当$\frac{AE}{AD}=\frac{1}{3}$时，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质证明即可；
（2）设EF=x，根据勾股定理解答即可．

解答 证明：（1）∵正方形ABGD，
又∵DE⊥DC，
∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，
∴∠ADE=∠GDC．
又∵∠A=∠DGC，
且AD=GD，
在△ADE与△GDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠GDC}\\{AD=DG}\\{∠A=∠DGC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△GDC（ASA）．
∴DE=DC，且AE=GC．
在△EDF和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DC}\\{∠EDF=∠CDF}\\{DF=DF}\end{array}\right.$，
∴△EDF≌△CDF（SAS）．
∴EF=CF．
（2）∵$\frac{AE}{AD}=\frac{1}{3}$，
∴AE=GC=2．
设EF=x，则BF=8-CF=8-x，BE=6-2=4．
由勾股定理，得x²=（8-x）²+4²．
解之，得x=5，
即EF=5．

点评 此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答．