Question

设M=3ⁿ+2×17ⁿ，其中n为正整数，则下列结论正确的是（　　）

• A、有且只有一个n，使得M为完全平方数
• B、存在多于一个的有限个n，使得M为完全平方数
• C、存在无数个n，使得M为完全平方数
• D、不存在n，使得M为完全平方数

Answer 1

考点：完全平方数

专题：计算题

分析：先计算可得n=1，2，3，4时，3ⁿ的尾数分别为：3，9，7，1；17ⁿ的尾数分别为：7，9，3，1，可得到2×17ⁿ的尾数分别为4，8，6，2，则可得到M=3ⁿ+2×17ⁿ的尾数分别为7，7，3，3．并且3ⁿ的尾数为3，9，7，1的循环；17ⁿ的尾数为7，9，3，1的循环，2×17ⁿ的尾数为4，8，6，2的循环，由此得M=3ⁿ+2×17ⁿ的尾数总是7，7，3，3的循环．根据个完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9可判断M=3ⁿ+2×17ⁿ不能为完全平方数．

解答：解：∵n为正整数，
∴n=1，2，3，4时，3ⁿ的尾数分别为：3，9，7，1；17ⁿ的尾数分别为：7，9，3，1，
则2×17ⁿ的尾数分别为4，8，6，2；
∴M=3ⁿ+2×17ⁿ的尾数分别为7，7，3，3．
当n依次取大于4的整数时，3ⁿ的尾数为3，9，7，1的循环；17ⁿ的尾数为7，9，3，1的循环，2×17ⁿ的尾数为4，8，6，2的循环；
∴M=3ⁿ+2×17ⁿ的尾数总是7，7，3，3的循环．
又∵一个完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9，
∴M=3ⁿ+2×17ⁿ不能为完全平方数．
故选D．

点评：本题考查了完全平方数：一个完全平方数的尾数只可能为0，1，4，5，6，9．