Question

6．解方程组：
（1）$\left\{\begin{array}{l}{xy-x-y+1=0}\\{{3x}^{2}+{4y}^{2}=1}\end{array}\right.$
（2）$\left\{\begin{array}{l}{{3x}^{2}-xy-{4y}^{2}-3x+4y=0}\\{{x}^{2}{+y}^{2}=25}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 （1）由方程①分解因式后化为a=0的形式，可得x=1或y=1，再分别代入方程②中，解出即可；
（2）将第一个方程分解因式得：（3x-4y）（x+y-1）=0，得到两个一次方程，分别和第二个方程组成新的方程组，解出即可．

解答 解：（1）$\left\{\begin{array}{l}{xy-x-y+1=0①}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=1②}\end{array}\right.$，
由①得：（xy-y）-（x-1）=0，
y（x-1）-（x-1）=0，
（x-1）（y-1）=0，
x=1或y=1，
当x=1时，3+4y²=1，
4y²=-2，
此方程无实数解，
当y=1时，3x²+4=1，
3x²=-3，
此方程无实数解，
∴原方程组无解；
（2）$\left\{\begin{array}{l}{{3x}^{2}-xy-{4y}^{2}-3x+4y=0}\\{{x}^{2}{+y}^{2}=25}\end{array}\right.$．
化简得：3x²+3xy-3x-4y²-4xy+4y=0，
3x（x+y-1）-4y（x+y-1）=0，
（3x-4y）（x+y-1）=0，
3x-4y=0或x+y-1=0，
∴可以化为以下两个方程组：$\left\{\begin{array}{l}{3x-4y=0①}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=25②}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1=0③}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=25④}\end{array}\right.$，
解由①和②组成的方程组的解为：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=4}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-4}\\{{y}_{2}=-3}\end{array}\right.$，
解由③和④组成的方程组的解为：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{3}=4}\\{{y}_{3}=-3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{4}=-3}\\{{y}_{4}=4}\end{array}\right.$，
综上所述，原方程组的解为：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=4}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-4}\\{{y}_{2}=-3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{3}=4}\\{{y}_{3}=-3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{4}=-3}\\{{y}_{4}=4}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了高次方程组的解法，有难度，此类题都是从一个方程入手，利用将方程变形后分解因式，达到降次的目的，从而解决问题．