Question

如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，OC=4，∠OAC=60度．
（1）求∠AOC的度数；
（2）在图1中，P为直径BA延长线上的一点，当CP与⊙O相切时，求PO的长；
（3）如图2，一动点M从A点出发，在⊙O上按逆时针方向运动，当S_△MAO=S_△CAO时，求动点M所经过的弧长．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据等腰三角形中有一角为60度时是等边三角形得到△ACO是等边三角形，∴∠AOC=60°
（2）由CP与⊙O相切，OC是半径．得CP⊥OC∴∠P=90°-∠AOC=30°∴PO=2 CO=8
（3）如图，当S_△MAO=S_△CAO时，动点M的位置有四种．
①作点C关于直径AB的对称点M₁，连接AM₁，OM₁．
②过点M₁作M₁M₂∥AB交⊙O于点M₂，连接AM₂，OM₂，
③过点C作CM₃∥AB交⊙O于点M₃，连接AM₃，OM₃，
④当点M运动到C时，M与C重合，
求得每种情况的OM转过的度数，再根据弧长公式求得弧AM的长．
解答：解：（1）∵在△ACO中，∠OAC=60°，OC=OA
∴△ACO是等边三角形∴∠AOC=60°．

（2）∵CP与⊙O相切，OC是半径．
∴CP⊥OC，又∵∠OAC=∠AOC=60°，
∴∠P=90°-∠AOC=30°，
∴在Rt△POC中，CO=PO=4，
则PO=2CO=8；

（3）如图，（每找出一点并求出弧长得1分）
①作点C关于直径AB的对称点M₁，连接AM₁，OM₁．
易得S_△M1AO=S_△CAO，∠AOM₁=60°
∴
∴当点M运动到M₁时，S_△MAO=S_△CAO，
此时点M经过的弧长为．

②过点M₁作M₁M₂∥AB交⊙O于点M₂，连接AM₂，OM₂，易得S_△M2AO=S_△CAO．
∴∠AOM₁=∠M₁OM₂=∠BOM₂=60°
∴或
∴当点M运动到M₂时，S_△MAO=S_△CAO，此时点M经过的弧长为．

③过点C作CM₃∥AB交⊙O于点M₃，连接AM₃，OM₃，易得S_△M3AO=S_△CAO
∴∠BOM₃=60°，
∴或
∴当点M运动到M₃时，S_△MAO=S_△CAO，此时点M经过的弧长为．

④当点M运动到C时，M与C重合，S_△MAO=S_△CAO，
此时点M经过的弧长为或．
点评：本题利用了等边三角形的判定和性质，弧长公式，同底等高的三角形的面积相等的性质求解．