Question

如图，等腰三角形△ABC中，AB=BC，底边AC=8cm，腰长为5cm，一动点P以每秒0.25cm的速度沿底边从点A向点C运动，则点P运动到使PB与一腰垂直时所花的时间是

7秒或25秒

．

Answer 1

分析：如图，过点B作BD⊥AC于点D．根据等腰三角形“三合一”的性质可得到AD的长，由勾股定理可求得BD的长，再分两种情况进行分析：①当PB⊥BC时，△PBD∽△BCD，则对应边成比例，由此求得t的值；②当PB⊥AB时，△PBD∽△BAD，则对应边成比例，由此求得t的值．

解答：解：如图，过点B作BD⊥AC于点D．
∵在等腰△ABC中，AB=BC，AC=8cm，
∴AD=CD=

1

2

AC=4cm．
∴在直角△ABD中，根据勾股定理得到：BD=

AB2-AD2

=

52-42

=3（cm）．
分两种情况：①如图1，当点P运动t秒后有PB⊥BC时，易证△PBD∽△BCD，则

PD

BD

=

BD

CD

，即

4-0.25t

3

=

3

4

，
解得t=7．
即点P运动到使PB与BC垂直时所花的时间是7秒；
②如图2，当点P运动t秒后有PB⊥AB时，易证△PBD∽△BAD，则

PD

BD

=

BD

AD

，即

0.25t-4

3

=

3

4

，
解得t=25．
即点P运动到使PB与AB垂直时所花的时间是25秒；
综上所述，点P运动的时间为7秒或25秒．
故答案是：7秒或25秒．

点评：此题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，此题难度适中，解题的关键是分类讨论思想、方程思想与数形结合思想的应用．