Question

阅读理解：对于任意正实数a、b，∵(

a

-

b

)2≥0，∴a-2

ab

+b≥0，∴a+b≥2

ab

，只有当a=b时，等号成立．
结论：在a+b≥2

ab

（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2

p

，只有当a=b时，a+b有最小值2

p

．   
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若m＞0，只有当m=

 

时，m+

1

m

有最小值

 

；
若m＞0，只有当m=

 

时，2m+

8

m

有最小值

 

．
（2）如图，已知直线L₁：y=

1

2

x+1与x轴交于点A，过点A的另一直线L₂与双曲线y=

-8

x

(x＞0)相交于点B（2，m），求直线L₂的解析式．
（3）在（2）的条件下，若点C为双曲线上任意一点，作CD∥y轴交直线L₁于点D，试求当线段CD最短时，点A、B、C、D围成的四边形面积．

Answer 1

分析：（1）根据式子特殊性可以分别求出m的值以及分式的最值；
（2）首先求出直线L₁与x轴的交点坐标，再利用点B（2，m）在y=

-8

x

(x＞0)上，求出m的值，从而求出直线L₂的解析式；
（3）将四边形分割为S_四ABCD=S_△ABE+S_四BEDC，分别求出即可．

解答：解：（1）∵m＞0，只有当m=1时，m+

1

m

有最小值是2；
若m＞0，只有当m=2时，2m+

8

m

有最小值 8．
故答案为：1，2；2，8；

（2）对于y=

1

2

x+1，令y=0，
得：x=-2，
∴A（-2，0）
又点B（2，m）在y=

-8

x

(x＞0)上，
∴m=-4，B（2，-4）
设直线L₂的解析式为：y=kx+b，
则有

-2k+b=0 2k+b=-4

，
解得：

k=-1 b=-2

∴直线L₂的解析式为：y=-x-2；

（3）设C(n，

-8

n

)，则：D(n，

1

2

n+1)，
∴CD=(

1

2

n+1)-

-8

n

=

1

2

n+

8

n

+1≥2

1 2 n• 8 n

+1=5，
∴CD最短为5，
此时

1

2

n=

8

n

，n=4，C（4，-2），D（4，3）
过点B作BE∥y轴交AD于点E，则B（2，-4），E（2，2），BE=6，
∴_{S四边形ABCD}=S_△ABE+S_{四边形BEDC}=

1

2

×6×4+

1

2

(5+6)×2=12+11=23．

点评：此题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用，利用数形结合将已知正确的运用于两种函数，以及将四边形分割后求四边形面积是这部分重点题型，同学们应正确的掌握．