Question

抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点为P，与x轴的两个交点为M、N（点M在点N的左侧），△PMN的三个内角∠P、∠M、∠N所对的边分别为p、m、n，若关于x的一元二次方程（p-m）x²+2nx+（p+m）=0有两个相等的实数根．
（1）试判定△PMN的形状；
（2）当顶点P的坐标为（2，-1）时，求抛物线的解析式；
（3）平行于x轴的直线与抛物线交于A、B两点，以AB为直径的圆恰好与x轴相切，求该圆的圆心坐标．

Answer 1

解：（1）∵关于x的一元二次方程（p-m）x²+2nx+（p+m）=0有两个相等的实数根，
∴△=（2n）²-4（p-m）（p+m）=0，
解得m²+n²=p²；
又由抛物线的对称性可得PM=PN，
故△PMN是等腰直角三角形；
（2）由顶点P（2，-1）及△PMN是等腰直角三角形可得M（1，0），N（3，0），
设抛物线解析式y=a（x-2）²-1，
把M（1，0）代入得a=1，
∴y=（x-2）²-1，即y=x²-4x+3．
（3）根据抛物线的对称性，圆心一定在对称轴上，
设圆心C（2，h），则A（2+h，h），
代入抛物线解析式，
h=（2+h-2）²-1，
解得h=，
∴该圆的圆心坐标为（2，）或（2，）．
分析：（1）由抛物线的对称性，方程等根时△=0，全面地判断△PMN的形状；（2）运用（1）的结论，抛物线的对称性推出M、N的坐标，设顶点式，求抛物线解析式；（3）设圆心C（2，h），可推出A（2+h，h），代入抛物线解析式可求h，从而确定圆心的坐标．
点评：本题是方程与函数的综合题，要充分运用抛物线及圆的对称性，圆的切线性质等知识解答本题．