Question

18．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交点A和点B，y轴交于点C，连接AC，直线BC的解析式为y=-x+3．
（1）求b和c的值；
（2）点E在抛物线上，设点E的横坐标为m，连接CE、BE，设△EBC的面积为S，求S与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，射线AE交抛物线的对称轴于点L，点P在x轴正半轴上，BP的垂直平分线交射线AE于点Q，点Q关于x轴的对称点在抛物线，若$\frac{LQ}{AP}=\frac{5}{8}$，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用直线BC的解析式求出点B、C的坐标，然后代入y=-x²+bx+c即可求出b和C的值；
（2）由于点E的不确定性，所以点E的位置由两种情况，一种是点E在直线BC上方，另一种是点E在直线BC的下方，利用三角形面积公式即可答案；
（3）由（2）可知点E的情况有两种，当点E在直线BC上方时，由于点Q关于x轴的对称点在抛物线，所以点p只能在B的左侧；当点E在直线BC下方时，有三种情况，其中点E在第二、三象限时不满足题意，所以点E只能在第四象限．

解答 解：（1）令x=0代入y=-x+3，
∴y=3，
∴点C的坐标为（0，3），
令y=0，代入y=-x+3，
∴x=3，
∴点B的坐标为（3，0），
把B（3，0）和C（0，3）代入y=-x²+bx+c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{0=-9+3b+c}\end{array}\right.$
∴解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，

（2）当点E在直线BC上方时，
过点E作EF⊥x轴于点F，交BC于点G，
∵E的横坐标为m，
∴令x=m代入y=-x+3，
∴y=3-m，
∴点G的坐标为（m，3-m），
令x=m代入y=-x²+2x+3，
∴y=-m²+2m+3，
∴点E的坐标为（m，-m²+2m+3）
∴GE=-m²+3m，
∴S=$\frac{1}{2}$GE•OF+$\frac{1}{2}$GE•BF=$\frac{1}{2}$GE•OB=$\frac{1}{2}$×3（-m²+3m）=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m，
当点E在直线BC下方时，如图2，
过点E作EF⊥y轴于点G，交BC于点F，
∵点E的坐标为（m，-m²+2m+3）
∴点F的纵坐标为-m²+2m+3，
令y=-m²+2m+3代入y=-x+3，
∴x=m²-2m，
∴F的坐标为（m²-2m，-m²+2m+3），
∴EF=m²-2m-m=m²-3m，
∴S=$\frac{1}{2}$EF•CG=$\frac{1}{2}$EF•OG=$\frac{1}{2}$EF•OC=$\frac{3}{2}$（m²-3m）=$\frac{3}{2}$m²-$\frac{9}{2}$m，
综上所述，S与m的函数关系式为S=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m或S=$\frac{3}{2}$m²-$\frac{9}{2}$m；

（3）当点E在直线BC的上方时，如图3，
若点P在B的左侧时，此时点Q关于x轴的对称点不在抛物线上，
∴点P只能在点B右侧，
设抛物线的对称轴与x轴交于点H，BP的垂直平分线交x轴于点M，
∵$\frac{LQ}{AP}=\frac{5}{8}$，
∴设LQ=5t，AP=8t，
令y=0代入y=-x²+2x+3，
解得：x=-1或x=3，
∴A（-1，0）
∴AB=4，
∴BP=AP-AB=8t-4，
∴BM=$\frac{1}{2}$BP=4t-2，
∵HB=2，
∴HM=LK=HB+BM=4t，
∴cos∠QAM=cos∠QLK=$\frac{LK}{LQ}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{3}{4}$AM=QM，
设Q的横坐标为q，
∴AM=q+1，
∵点Q关于x轴的对称点在抛物线上，
∴QM=-（-q²+2q+3），
∴$\frac{3}{4}$（q+1）=-（-q²+2q+3），
解得：q=-1或q=$\frac{15}{4}$，
当q=-1时，
M与Q重合，舍去，
当q=$\frac{15}{4}$时，
∴OP=OB+BP=2q-3=$\frac{9}{2}$，
∴点P坐标为（$\frac{9}{2}$，0）
当点E在直线BC的下方时，如图4
若点E在第二象限时，则此时点Q的对称点不在抛物线上，
若点E在第三象限时，则此时射线AE与抛物线的对称轴无交点，
所以点E只能在第四象限，
由于点Q关于x轴的对称点在抛物线上，
∴点P在B的左侧，
设抛物线的对称轴与x轴交于点H，BP的垂直平分线与x轴交于点M，
过点L作LK∥x轴，交MQ于点K，
∴易求得：KL=HM=4t，
∴cos∠QAM=∠QLK=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{3}{4}$AM=QM，
设Q的横坐标为q，
∴AM=q+1，
∵点Q关于x轴的对称点在抛物线上
∴QM=-q²+2q+3，
∴$\frac{3}{4}$（q+1）=-q²+2q+3，
解得：q=-1或q=$\frac{9}{4}$，
∴q=-1时，
此时M与Q重合，舍去，
当q=$\frac{9}{4}$时，
∴OP=q-（3-q）=$\frac{3}{2}$，
∴点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，0）
综上所述，点P的坐标为（$\frac{9}{2}$，0）或（$\frac{3}{2}$，0）．

点评 本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，轴对称的性质，解方程等知识，考查知识综合程度高，需要学生灵活运用所学知识进行解答，