Question

如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，且∠PBC=∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC等于3，sinP=，求⊙O的直径；
（3）连接OC，取其中点M，连接AM并延长交于F，连接DF，求证：DF平分弦BC．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据圆周角定理得到∠D=∠PBC，而∠PBC=∠C，则∠D=∠C，然后根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）连AC，根据垂径定理及圆周角定理得到∠P=∠A，∠ACB=90°，则sinA=sinP=，然后根据正弦的定义得到=，而BC=3，易得AB=5；
（3）连接BD，DF交BC于点N，由直径AB⊥CD，根据垂径定理得弧BC=弧BD，弧AC=弧AD，则BC=BD，∠ABC=∠ABD，根据圆周角定理有∠AOC=2∠ABC，则∠AOC=∠DBC，又∠A=∠BDF，根据相似三角形的判定可得△AOM∽△DNB，则OA：BD=OM：BN，即BD：BN=OA：OM，而点M为OC的中点，则OA=2OM，于是有BD=2BN，即可得到BC=2BN，BN=CN，即DF平分弦BC．
解答：（1）证明：∵∠D=∠PBC，∠PBC=∠C，
∴∠D=∠C，
∴CB∥PD；

（2）解：连接AC，如图，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴=，
∴∠P=∠A，
∴sinA=sinP=，
又∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴sinA==，
而BC=3，
∴AB=5，
即⊙O的直径为5；

（3）连接BD，DF交BC于点N，如图，
∵直径AB⊥CD，
∴弧BC=弧BD，弧AC=弧AD，
∴BC=BD，∠ABC=∠ABD，
∵∠AOC=2∠ABC，
∴∠AOC=∠DBC，
又∵∠A=∠BDF，
∴△AOM∽△DBN，
∴OA：BD=OM：BN，即BD：BN=OA：OM，
而点M为OC的中点，
∴OA=2OM，
∴BD=2BN，
∴BC=2BN，
∴BN=CN，即DF平分弦BC．
点评：本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；运用相似三角形的判定与性质证明线段之间的关系；运用正弦的定义进行几何计算．