Question

2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AM是△ACD的外角∠DAF的平分线．
（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）若∠D=60°，AD=2，射线CO与AM交于N点，请写出求ON长的思路．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理得到AB垂直平分CD，根据线段垂直平分线的性质得到AC=AD，得到∠BAD=$\frac{1}{2}$∠CAD，由AM是△ACD的外角∠DAF的平分线，得到∠DAM=$\frac{1}{2}$∠FAD，于是得到结论；
（2）设AB与CD交于G，推出△ACD是等边三角形，得到CD=AD=2，根据直角三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴AB垂直平分CD，
∴AC=AD，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠CAD，
∵AM是△ACD的外角∠DAF的平分线，
∴∠DAM=$\frac{1}{2}$∠FAD，
∴∠BAM=$\frac{1}{2}$（∠CAD+∠FAD）=90°，
∴AB⊥AM，
∴AM是⊙O的切线；

（2）思路：①由AB⊥CD，AB是⊙O的直径，可得BC=BD，AC=AD，
∠1=∠3=$\frac{1}{2}$∠CAD，AC=AD；
②由∠D=60°°，AQD=2，可得△ACD为边长为2的等边三角形，∠1=∠3=30°；
③由OA=OC，可得∠3=∠4=30°；
④由∠CAN=∠3+∠OAN=120°，可得∠5=∠4=30°，AN=AC=2；
⑤由△OAN为含有30°的直角三角形，可求ON的长．
附解答：∵AC=AD，∠D=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴CD=AD=2，
∴CG=DG=1，
∴OC=OA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵∠3=∠4=30°，
∴ON=2OA=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定，垂径定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．