Question

10．如图1，直线y=-2x+4交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＜0）于C点，△AOC的面积为6．
（1）求双曲线的解析式．
（2）如图2，D为双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＜0）上一点，连结CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得线段DE，点E恰好落在x轴上，求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）过C作CH⊥x轴于H，根据△AOC的面积为6，求得CH=6，即可得出C（-1，6），代入y=$\frac{k}{x}$（x＜0）可得，k=-6；
（2）过点D作DF⊥x轴于F，过C作CG⊥DF于G，则∠G=∠DFE=90°，再根据旋转的性质，判定△DCG≌△EDF（AAS），即可得出CG=DF，DG=EF，再设D（a，-$\frac{6}{a}$），则DF=-$\frac{6}{a}$，FO=-a，根据C（-1，6），可得CG=-1-a，DF=-1-a，进而得出方程-$\frac{6}{a}$=-1-a，解得a=-3或a=2（舍去），最后根据OE=4-3=1，可得E（1，0）．

解答 解：（1）过C作CH⊥x轴于H，
直线y=-2x+4中，令y=0，则x=2，
∴A（2，0），即AO=2，
∵△AOC的面积为6，
∴$\frac{1}{2}$×AO×CH=6，
∴$\frac{1}{2}$×2×CH=6，
∴CH=6，即点C的纵坐标为6，
直线y=-2x+4中，当y=6时，6=-2x+4，
解得x=-1，
∴C（-1，6），
代入y=$\frac{k}{x}$（x＜0）可得，k=-1×6=-6，
∴双曲线的解析式为y=-$\frac{6}{x}$；

（2）过点D作DF⊥x轴于F，过C作CG⊥DF于G，则∠G=∠DFE=90°，
由旋转可得，CD=DE，∠CDE=90°，
∴∠CDG=∠DEF，
在△DCG和△EDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDG=∠DEF}\\{∠G=∠DFE}\\{CD=DE}\end{array}\right.$，
∴△DCG≌△EDF（AAS），
∴CG=DF，DG=EF，
设D（a，-$\frac{6}{a}$），则DF=-$\frac{6}{a}$，FO=-a，
∵C（-1，6），
∴CG=-1-a，
∴DF=-1-a，
∴-$\frac{6}{a}$=-1-a，
解得a=-3或a=2（舍去），
∴DF=-1+3=2，DG=GF-DF=6-2=4，
∴EF=4，
又∵FO=3，
∴OE=4-3=1，
∴E（1，0）．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定与性质，旋转的性质以及解一元二次方程，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形的对应边相等进行求解．