Question

在正方形ABCD中，点E是AD上一动点，MN⊥AB分别交AB，CD于M，N，连接BE交MN于点O，过O作OP⊥BE分别交AB，CD于P，Q。
探究：（1）如图①，当点E在边AD上时，请你动手测量三条线段AE，MP，NQ的长度，猜测AE与MP+NQ之间的数量关系，并证明你所猜测的结论；
探究：（2）如图②，若点E在DA的延长线上时，AE，MP，NQ之间的数量关系又是怎样请直接写出结论；
再探究：（3）如图③，连接并延长BN交AD的延长线DG于H，若点E分别在线段DH和射线HG上时，请在图③中完成符合题意的图形，并判断AE，MP，NQ之间的数量关系又分别怎样？请直接写出结论。

Answer 1

解：（1）如图①结论：AE=MP+NQ， 证明：过Q作QQ'⊥AB于Q'，则∠MQ′Q=90°， ∵MN⊥AB， ∴∠AMN=90°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD=∠ADC=90°， ∴四边形AMND为矩形， ∴MN=AD=AB， ∴∠Q′MN=∠QNM=90°， ∴四边形MNQQ′为矩形， ∴QQ′=MN=AB，NQ=Q′M， 在△BAE和△QQ′P中， ∵PQ⊥BE， ∴∠Q′QP+∠Q′PQ=90°， ∵∠ABE+∠Q′PQ=90°， ∴∠Q′QP=∠ABE， ∵∠PQ′Q=∠BAE=90°，QQ′=AB， ∴△BAE≌△QQ′P， ∴Q′P=AE， ∵Q′P=MP+Q′M=MP+NQ， ∴AE=MP+NQ； （2）如图②，若点E在DA的延长线上时，结论AE=QN-MP。 （3）如图，若点E1在线段DH上时，结论：AE1=MP1+NQ1， 若点E2在射线HG上时，结论：AE2=MP2-NQ2。