Question

【题目】如图，在梯形中，，，，．P为线段上的一动点，且和B、C不重合，连接，过点P作交射线于点E．

聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：

（1）通过推理，他发现，请你帮他完成证明．

（2）利用几何画板，他改变的长度，运动点P，得到不同位置时，、的长度的对应值：

当时，得表1：

	…	1	2	3	4	5	…
	…	0.83	1.33	1.50	1.33	0.83	…

当时，得表2：

	…	1	2	3	4	5	6	7	…
	…	1.17	2.00	2.50	2.67	2.50	2.00	1.17	…

这说明，点P在线段上运动时，要保证点E总在线段上，的长度应有一定的限制．

①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在和的长度这两个变量中，_____的长度为自变量，_____的长度为因变量；

②设，当点P在线段上运动时，点E总在线段上，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①BP，CE；②0＜m≤

【解析】

（1）由同角的余角相等可得∠APB＝∠CEP，又因为∠B＝∠C＝90°，即可证得相似；

（2）①由题意可得随着P点的变化，CE的长度在变化，即可判断自变量和因变量；

②设BP的长度为xcm，CE的长度为ycm，由△ABP∽△PCE，利用对应边成比例求出y与x的函数关系式，利用二次函数性质，求出其最大值，列不等式确定m的取值范围；

解：（1）证明：∵，

∴∠APE＝90°，

∵∠APB＋∠CPE＝90°，∠CEP＋∠CPE＝90°，

∴∠APB＝∠CEP，

又∵∠B＝∠C＝90°，

∴△ABP∽△PCE；

（2）①由题意可得随着P点的变化，CE的长度在变化，所以BP的长度为自变量，CE的长度为因变量；

故答案为：BP，CE；

②设BP的长度为xcm，CE的长度为ycm，

∵△ABP∽△PCE，

∴，即，

∴y＝

＝，

∴当x＝时，y取得最大值，最大值为，

∵点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，

∴≤2，

解得m≤，

∴m的取值范围为：0＜m≤．