图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,﹣1)的抛物线交y轴于A点,交x轴于B,C两点(点B在点C的左侧),已知A点坐标为(0,3).
(1)求此抛物线的解析式
(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切,请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系,并给出证明;
(3)已知点P是抛物线上的一个动点,且位于A,C两点之间,问:当点P运动到什么位置时,△PAC的面积最大?并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积.
解:(1)设抛物线为y=a(x﹣4)2﹣1,
∵抛物线经过点A(0,3),
∴3=a(0﹣4)2﹣1,;
∴抛物线为;(3分)
(2)相交.
证明:连接CE,则CE⊥BD,
当时,x1=2,x2=6.
A(0,3),B(2,0),C(6,0),
对称轴x=4,
∴OB=2,AB==,BC=4,
∵AB⊥BD,
∴∠OAB+∠OBA=90°,∠OBA+∠EBC=90°,
∴△AOB∽△BEC,
∴=,即=,解得CE=,
∵>2,
∴抛物线的对称轴l与⊙C相交.(7分)
(3)如图,过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q;
可求出AC的解析式为;(8分)
设P点的坐标为(m,),
则Q点的坐标为(m,);
∴PQ=﹣m+3﹣(m2﹣2m+3)=﹣m2+m.
∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=×(﹣m2+m)×6
=﹣(m﹣3)2+;
∴当m=3时,△PAC的面积最大为;
此时,P点的坐标为(3,).(10分)
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下列说法正确的是( )
| A. | 为了了解全国中学生每天体育锻炼的时间,应采用普查的方式 |
| B. | 若甲组数据的方差S=0.03,乙组数据的方差是S=0.2,则乙组数据比甲组数据稳定 |
| C. | 广安市明天一定会下雨 |
| D. | 一组数据4、5、6、5、2、8的众数是5 |
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如图1所示的晾衣架,支架主视图的基本图形是菱形,其示意图如图2.晾衣架伸缩时,点在射线 上滑动,∠的大小也随之发生变化.已知每个菱形边长均等于20cm ,且
=20cm .
⑴ 当∠=60°时,求两点间的距离;
⑵ 当∠由60°变为120°时,点向左移动了多少cm ?(结果精确到0.1cm)
⑶ 设cm ,当∠的变化范围为60°~ 120°(包括端点值)时,求的取值范围 .(结果精确到0.1cm) (参考数据 ,可使用科学计算器)
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在全国初中数学竞赛中,都匀市有40名同学进入复赛,把他们的成绩分为六组,第一组一第四组的人数分别为10,5,7,6,第五组的频率是0.2,则第六组的频率是
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如下是九年级某班学生适应性考试文综成绩(依次A、B、C、D等级划分,且A等为成绩最好)的条形统计图和扇形统计图,请根据图中的信息回答下列问题:
(1)补全条形统计图;
(2)求C等所对应的扇形统计图的圆心角的度数;
(3)求该班学生共有多少人?
(4)如果文综成绩是B等及B等以上的学生才能报考示范性高中,请你用该班学生的情况估计该校九年级400名学生中,有多少名学生有资格报考示范性高中?
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今年5月10日,在市委宣传部、市教育局等单位联合举办的“走复兴路,圆中国梦”中学生演讲比赛中,7位评委给参赛选手张阳同学的打分如表:
评委代号 | A | B | C | D | E | F | G |
评分 | 90 | 92 | 86 | 92 | 90 | 95 | 92 |
则张阳同学得分的众数为( )
| A. | 95 | B. | 92 | C. | 90 | D. | 86 |
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