Question

【题目】如图，∠AOB＝60°，点M，N分别是射线OA，OB上的动点，OP平分∠AOB，OP＝8，当△PMN周长取最小值时，△OMN的面积为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小，然后根据菱形的面积公式即可得到结论．

解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PC、PD．

∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，

∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA＝30°；

∵点P关于OB的对称点为D，

∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，

∴OC＝OD＝OP＝8，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝120°，∠COP=∠COP=60°，

∴△COP与△POD是等边三角形，

∴四边形OCPD是菱形，

∴CD垂直平分OP，

∴∠PCD＝∠PDC＝30°，OM＝PM，PN＝ON，∵∠PCM＝∠MPC＝30°，

∴∠PMN＝60°，

同理∠PNM＝60°，

∴PM＝PN，

∴四边形PMON是菱形，

∵OP＝8，

∴MN＝，

∴△OMN的面积＝S菱形PMON＝××8×＝．