Question

如图，以菱形ABCD的边AB为直径的⊙O交对角线AC于点P，过P作PE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若菱形ABCD的面积为24，tan∠PAB=

3

4

，求PE的长．

Answer 1

分析：（1）连接OP，只要证明OP⊥PE即可．本题可根据菱形的性质可证得∠OPE=90°．
（2）连接PB，根据菱形的性质及三角函数的知识即可得出PE的长．

解答：证明：（1）连接OP，
∵OA=OP，
∴∠OAP=∠APO．
∵菱形ABCD，
∴∠ACB=∠CAB．
∴∠APO=∠ACB．
∴PO∥BC．
∵PE⊥BC，
∴∠OPE=∠CEP=90°．
∴PE是⊙O的切线．

（2）连接PB，
∵菱形ABCD的面积为24，
∴△BPC的面积=6，∠PAB=∠PCB．
∵tan∠PAB=

3

4

，
∴PB=3，PC=4，
∴BC=5，
∴PE=S_△BPC×2÷BC=6×2÷5=2.4．

点评：本题考查了切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．本题同时考查了菱形的性质及三角函数的知识．