Question

9．如图，在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，P为AC上一动点，过P作EF⊥AC交AD于点E，交AB于点F，将△AEF沿EF折叠，使点A落在对角线AC上的点A′处，当△A′CD为直角三角形时，AP的长为2或$\frac{7}{8}$．

Answer 1

分析 分两种情形①当A′与O重合时，△CDA′是直角三角形，此时AP=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{4}$AC=2．②当A′D⊥CD时，△CDA′是直角三角形，此时cos∠DCA′=$\frac{CD}{CA′}$=$\frac{OC}{CD}$，列出方程即可解决问题．

解答 解：如图，连接BD交AC于O．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵EF⊥AC，△A′EF是由△AEF翻折得到，
∴PA=PA′，
①当A′与O重合时，△CDA′是直角三角形，
此时AP=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{4}$AC=2．
②当A′D⊥CD时，△CDA′是直角三角形，
此时cos∠DCA′=$\frac{CD}{CA′}$=$\frac{OC}{CD}$，
∴$\frac{5}{CA′}$=$\frac{4}{5}$，
∴CA′=$\frac{25}{4}$，
∴AP=$\frac{1}{2}$AA′=$\frac{1}{2}$（8-$\frac{25}{4}$）=$\frac{7}{8}$，
综上所述，满足条件的AP的长为2或$\frac{7}{8}$．

点评 本题考查翻折变换、菱形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，是由中考填空题中的压轴题．