Question

【题目】如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C，过C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于E．
（1）求证：直线CD为⊙O的切线；
（2）当AB=2BE，且CE= 时，求AD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC，如图所示，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵AC平分∠BAD，

∴∠CAD=∠OCA，

∴∠OAC=∠CAD，

∴OC//AD，

∵AD⊥DE，

∴OC⊥DE，

∵OC为圆O的半径，

∴CD为圆O的切线；

（2）解：∵AB=2BE，且AB=2OA=2OB，

∴OA=OB=BE=OC，即OC= OE，

在Rt△OCE中，CE= ，

∴OC=1，OE=2，即AE=3，

∴AD= AE=1.5

【解析】（1）连接OC，由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由AC为角平分线得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到OC与AD平行，根据AD与DC垂直，得到OC与CD垂直，即可得证；（2）由AB=2BE，且AB=2OB，得到OB=BE，进而得到OC等于OE的一半，确定出∠E为30度，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长即可．