Question

如图，直线y=

4

3

x-4与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数y=

4

3

x²+bx+c的图象经过点A和C，和x轴的另一个交点为B．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）直接写出该抛物线的对称轴及顶点M的坐标；
（3）求四边形ABCM的面积S．

Answer 1

分析：（1）由直线y=

4

3

x-4与x轴交于点A，与y轴交于点C，分别令x=0与y=0，即可求得点A和C的坐标，又由二次函数y=

4

3

x²+bx+c的图象经过点A和C，利用待定系数法即可求得此二次函数的关系式；
（2）由（1）中的二次函数的关系式，利用配方法即可求得其顶点式，则可求得该抛物线的对称轴及顶点M的坐标．
（3）首先令y=

4

3

x²-

8

3

x-4中，y=0，得方程

4

3

x²-

8

3

x-4=0，解此方程即可求得点B的坐标，然后过M作x轴的垂线，垂足为D，由S_{四边形ABCM}=S_△OBC+S_梯形OCDM+S_△ADM，即可求得四边形ABCM的面积S的值．

解答：解：（1）∵直线y=

4

3

x-4与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴当x=0时，y=-4，当y=0时，x=3，
∴A（3，0），C（0，-4），
∵二次函数y=

4

3

x²+bx+c的图象经过点A和C，
∴

c=-4 4 3 ×9+3b+c=0

，
解得：

b=- 8 3 c=-4

，
∴该二次函数的关系式为：y=

4

3

x²-

8

3

x-4；

（2）∵y=

4

3

x²-

8

3

x-4=

4

3

（x²-2x）-4=

4

3

（x-1）²-

16

3

，
∴该抛物线的对称轴为x=1，顶点M的坐标为（1，-

16

3

）．

（3）令y=

4

3

x²-

8

3

x-4中，y=0，得

4

3

x²-

8

3

x-4=0，
∴x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴B（-1，0），
过M作x轴的垂线，垂足为D，
S_{四边形ABCM}=S_△OBC+S_梯形OCDM+S_△ADM=

1

2

×1×4+

1

2

×（4+

16

3

）×1+

1

2

×（3-1）×

16

3

=12．

点评：此题考查了二次函数与一次函数的综合应用．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意待定系数法求函数解析式，注意二次函数的一般式与顶点式的转化，注意在求四边形的面积时辅助线的作法与分割思想的应用．