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【题目】如图,点A的坐标为(﹣8,0),点P的坐标为(-,0),直线y=x+b过点A,交y轴于点B,以点P为圆心,以PA为半径的圆交x轴于点C.

(1)判断点B是否在⊙P上?说明理由.

(2)求过A、B、C三点的抛物线的解析式;并求抛物线与⊙P另外一个交点为D的坐标.

(3)⊙P上是否存在一点Q,使以A、P、B、Q为顶点的四边形是菱形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】⑴点B在⊙P上,理由见解析;⑵抛物线的解析式为 ,D

⑶⊙P上不存在点Q,使以A、P、B、Q为顶点的四边形,理由见解析.

【解析】试题分析:(1)通过计算PB与PA是否相等即可做出判断;

(2)由圆的性质确定出点C的坐标,然后利用待定系数法即可解决;

(3)分AB为菱形的对角线, AB、AP为菱形的邻边,AB、BP为菱形的邻边, 三种情况进行讨论.

试题解析:⑴∵A(-8,0)在直线上,则有b=6

∴点B(0,6),即OB=6,

RtBOP中,由勾股定理得PB=,则PB=PA,∴点B在⊙P上.

AC2PA,则OC=,点C,抛物线过点A、C,则设所求抛物线为,代入点C,则有a=

抛物线的解析式为

直线x=是抛物线和圆P的对称轴,点B的对称点为D,由对称可得D.

⑶当点Q在⊙P上时,有PQ=PA=

如图1所示,假设AB为菱形的对角线,那么PQ⊥AB且互相平分,由勾股定理得PE=,则2PE≠PQ,所以四边形APBQ不是菱形.

如图2所示,假设AB、AP为菱形的邻边,则AB≠AP,所以四边形APQB不是菱形.

如图3所示,假设 AB、BP为菱形的邻边,则AB≠BP,所以四边形AQPB不是菱形.

图1 图2 图3

综上所述,⊙P上不存在点Q,使以A、P、B、Q为顶点的四边形.

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