Question

【题目】如图1，矩形DEFG中，DG＝2，DE＝3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，FG，BC的延长线相交于点O，且FG⊥BC，OG＝2，OC＝4．将△ABC绕点O逆时针旋转α（0°≤α＜180°）得到△A′B′C′．

（1）当α＝30°时，求点C′到直线OF的距离．

（2）在图1中，取A′B′的中点P，连结C′P，如图2．

①当C′P与矩形DEFG的一条边平行时，求点C′到直线DE的距离．

②当线段A′P与矩形DEFG的边有且只有一个交点时，求该交点到直线DG的距离的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）点C′到直线OF的距离为2；（2）①点C′到直线DE的距离为2+2；②2≤d≤﹣2或d＝3．

【解析】

（1）过点C′作C′H⊥OF于H．根据直角三角形的边角关系，解直角三角形求出CH即可．

（2）①分两种情形：当C′P∥OF时，过点C′作C′M⊥OF于M；当C′P∥DG时，过点C′作C′N⊥FG于N．通过解直角三角形，分别求出C′M，C′N即可．

②设d为所求的距离．第一种情形：当点A′落在DE上时，连接OA′，延长ED交OC于M．当点P落在DE上时，连接OP，过点P作PQ⊥C′B′于Q．结合图象可得结论．

第二种情形：当A′P与FG相交，不与EF相交时，当点A′在FG上时，A′G＝2﹣2，即d＝2﹣2；当点P落在EF上时，设OF交A′B′于Q，过点P作PT⊥B′C′于T，过点P作PR∥OQ交OB′于R，连接OP．求出QG可得结论．

第三种情形：当A′P经过点F时，此时显然d＝3．综上所述即可得结论．

解：（1）如图，

过点C′作C′H⊥OF于H．

∵△A′B′C′是由△ABC绕点O逆时针旋转得到，

∴C′O=CO=4，

在Rt△HC′中，

∵∠HC′O＝α＝30°，

∴C′H＝C′Ocos30°＝2，

∴点C′到直线OF的距离为2．

（2）①如图，当C′P∥OF时，过点C′作C′M⊥OF于M．

∵△A′B′C′为等腰直角三角形，P为A′B′的中点，

∴∠A′C′P=45°，

∵∠A′B′O=90°，

∴∠OC′P=135°.

∵C′P∥OF，

∴∠O＝180°﹣∠OC′P＝45°，

∴△OC′M是等腰直角三角形，

∵OC′＝4，

∴C′M＝C′Ocos45°=4×=，

∴点C′到直线DE的距离为．

如图，当C′P∥DG时，过点C′作C′N⊥FG于N．

同法可证△OC′N是等腰直角三角形，

∴C′N＝，

∵GD=2，

∴点C′到直线DE的距离为．

②设d为所求的距离．

第一种情形：如图，当点A′落在DE上时，连接OA′，延长ED交OC于M．

∵OC=4，AC=2，∠ACO=90°，

∵OM＝2，∠OMA′＝90°，

∴A′M＝＝＝4，

又∵OG=2，

∴DM=2，

∴A′D＝A′M-DM=4-2=2，

即d＝2，

如图，当点P落在DE上时，连接OP，过点P作PQ⊥C′B′于Q．

∵P为A′B′的中点，∠A′C′B′=90°，

∴PQ∥A′C′，

∴

∵B′C′=2

∴PQ＝1，CQ=1，

∴Q点为B′C′的中点，也是旋转前BC的中点，

∴OQ=OC+CQ=5

∴OP＝＝，

∴PM＝，

∴PD＝，

∴d＝﹣2，

∴2≤d≤﹣2．

第二种情形：当A′P与FG相交，不与EF相交时，当点A′在FG上时，A′G＝2﹣2，即d＝2﹣2，

如图，当点P落在EF上时，设OF交A′B′于Q，过点P作PT⊥B′C′于T，过点P作PR∥OQ交OB′于R，连接OP．

由上可知OP＝，OF＝5，

∴FP＝＝＝1，

∵OF＝OT，PF＝PT，∠F＝∠PTO＝90°，

∴Rt△OPF≌Rt△OPT（HL），

∴∠FOP＝∠TOP，

∵PQ∥OQ，

∴∠OPR＝∠POF，

∴∠OPR＝∠POR，

∴OR＝PR，

∵PT2+TR2＝PR2，

∴PR＝2.6，RT＝2.4，

∵△B′PR∽△B′QO，

∴＝，

∴＝，

∴OQ＝，

∴QG＝OQ﹣OG＝，即d＝

∴2﹣2≤d＜，

第三种情形：当A′P经过点F时，如图，

此时FG=3，即d＝3．

综上所述，2≤d≤﹣2或d＝3．