Question

已知一次函数y=kx+2的图象经过第一，二，三象限，且与x，y轴分别交于A、B两点O是原点，若△AOB的面积为2．
（1）求一次函数的解析式；
（2）设点P（m，n）（其中n≥0）是一次函数y=kx+2图象上的点，过点P向以原点O为圆心1为半径的⊙O引切线PC、PD，切点分别为C、D，①当-2≤m≤0时，求四边形PCOD的面积S的取值范围．②若CD=

3

5

10

，求切点C、D的坐标．

Answer 1

分析：（1）因为直线与x，y轴分别交于A、B两点O是原点，△AOB的面积为2，所以A（-

2

k

，0），B（0，2），

1

2

×2×

2

k

=2，解之即可；
（2）利用PC、PD切⊙O于C、D，可得∠PCO=∠PDO=90°，利用勾股定理可得PD=PC=

m2+n2-1

，所以S_PCOD=

1

2

×

m2+n2-1

×2=

m2+n2-1

，因为P（m，n）是y=x+2上的点，所以n=m+2，所以有S_PCOD=

m2+(m+2)2-1

=

2(m+1)2+1

，结合m的取值即可对S的取值作出判断；
（3）因为CD=

3

5

10

，PC、PD是圆的切线，连接OP，则OP⊥CD，所以S_PCOD=

1

2

•CD•OP，即

3 10

10

•

m2+n2

=

2m2+4m+3

，将n=m+2代入可得m的值，从而求出n=3，P（1，3），再设⊙O与x轴的正、负半轴交于点F、N，则F（1，0），N（-1，0），利用PF⊥OF，判定PF是过P的圆O的一条切线，所以F与D重合，D（1，0），再连接CN，作CM⊥DN于M，利用DN是直径，得到
∠NCD=90°，利用勾股定理可求出CN=

ND2-CD2

=

10

5

，
CM=

CN•CD

ND

=

10 5 • 3 10 5

2

=

3

5

，
MD=

CD2-CM2

=

9

5

，
OM=

9

5

-1=

4

5

，
所以C（-

4

5

，

3

5

），D（1，0）．

解答：解：（1）∵一次函数y=kx+2的图象经过第一，二，三象限，直线与x，y轴分别交于A、B两点O是原点，△AOB的面积为2，
∴A（-

2

k

，0），B（0，2），
∴

1

2

×2×

2

k

=2，
解之k=1，
所以y=x+2；

（2）①∵PC、PD切⊙O于C、D，
∴∠PCO=∠PDO=90°，
∵OD=OC=1，OP²=m²+n²∴PD=PC=

m2+n2-1

，
∴S_PCOD=

1

2

×

m2+n2-1

×2=

m2+n2-1

，
∵P（m，n）是y=x+2上的点，
∴n=m+2，
∴S_PCOD=

m2+(m+2)2-1

=

2(m+1)2+1

，
∵-2≤m≤0，
∴当m=-1时，S有最小值=1，当m=-2和m=0时，S有最大值=

3

，
∴1≤S≤

3

；
②∵CD=

3

5

10

，PC、PD是圆的切线，连接OP，则OP⊥CD，
∴S_PCOD=

1

2

•CD•OP，
∴

3 10

10

•

m2+n2

=

2m2+4m+3

，
∵n=m+2，
∴m²+2m-3=0，
∴m=-3或m=1，
∵n≥0，
∴m=1，
∴n=3，P（1，3）
设⊙O与x轴的正、负半轴交于点F、N，则F（1，0），N（-1，0），
∴PF⊥OF，即PF是过P的圆O的一条切线，
∴F与D重合，D（1，0），
连接CN，作CM⊥DN于M，
∵DN是直径，
∴∠NCD=90°，
∵CD=

3 10

5

，ND=2，
∴CN=

ND2-CD2

=

10

5

，
CM=

CN•CD

ND

=

10 5 • 3 10 5

2

=

3

5

，
MD=

CD2-CM2

=

9

5

，
OM=

9

5

-1=

4

5

∴C（-

4

5

，

3

5

），D（1，0）．

点评：本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理和切线的性质即可解决问题．