Question

如图，一条直线与反比例函数的图象交于A（1，4）B（4，n）两点，与轴交于D点，AC⊥轴，垂足为C．

（1）如图甲，①求反比例函数的解析式；②求n的值及D点坐标；
（2）如图乙，若点E在线段AD上运动，连结CE，作∠CEF=45°，EF交AC于F点．试说明△CDE∽△EAF；

Answer 1

（1）①，②，D（5，0）；（2）要证△CDE∽△EAF，只要证明出△CDE和△EAF的三个内角分别对应相等，即可得证.

试题分析：（1）①根据点A的坐标即可求出反比例函数的解析；②把B点的坐标代入求得的反比例函数的解析式即可求得n的值；利用待定系数法求一次函数的解析式，令一次函数的y=0，即可求得点D的坐标；
（2）要证△CDE∽△EAF，只要证明出△CDE和△EAF的三个内角分别对应相等，即可得证.
（1）①∵点A（1，4）在反比例函数图象上
∴k=4
即反比例函数关系式为；
②∵点B（4，n）在反比例函数图象上
∴n=1
设一次函数的解析式为y=mx+b
∵点A（1，4）和B（4，1）在一次函数y=mx+b的图象上

∴一次函数关系式为y=-x+5
令y=0，得x=5
∴D点坐标为D（5，0）；
（2）∵A（1，4），D（5，0），AC⊥x轴
∴C（1，0）
∴AC=CD=4，
即∠ADC=∠CAD=45°，
∵∠AEC=∠ECD+∠ADC=∠ECD+45°，
∠AEC=∠AEF+∠FEC=∠AEF+45°，
∴∠ECD=∠AEF，△CDE和△EAF的两角对应相等，
∴△CDE∽△EAF．
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．