Question

在Rt△ABC中，∠C=90°．CD为斜边AB上的高，P为线段AD上一点，连接CP，过B点作CP的垂线，垂足为H，且分别与CD、AC交于点E、F．
求证：（1）CD²=AD•BD；
（2）△CDP∽△BDE．

Answer 1

分析：（1）根据题意可推出∠CAD=∠DCB，即可推出△CDA∽△BDC，即CD²=AD•BD；
（2）根据题意可推出∠PCD=∠HBP，即可推出△CDP∽△BDE．

解答：证明：（1）∵CD⊥AB，∠C=90°
∴∠DCB+∠CBD=90°，∠CAD+∠CBD=90°，
∴∠CAD=∠DCB（1分）
又∠CDA=∠BDC=90°
∴△CDA∽△BDC（2分）
∴

AD

CD

=

CD

BD

（2分）
∴CD²=AD•BD（1分）

（2）∵CD⊥AB，BH⊥CP
∴∠PCD+∠CPD=90°（1分）
∠HBP+∠CPD=90°（1分）
∴∠PCD=∠HBP（2分）
又∵∠CDP=∠BDE=90°
∴△CDP∽△BDE（2分）

点评：本题主要考查直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质，关键在于利用图中的直角三角形求出∠CAD=∠DCB，∠PCD=∠HBP．