Question

16．已知：如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E，F分别是AB，AD上的两个动点，且始终保持∠ECF=60°
（1）试判断△ECF的形状并说明理由；
（2）若菱形的边长为2cm，求△ECF周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）先根据四边形ABCD是菱形判断出△ABC的形状，再由ASA定理得出△ACF≌△BCE，故可得出CF=CE，由此可得出结论；
（2）根据垂线段最短可知当CE⊥AB时△ECF周长最小，由直角三角形的性质求出CE的长，故可得出结论．

解答 解：（1）△ECF是等边三角形．
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC．
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ACB=∠BAC=60°，即∠BCE+∠ACE=60°，
∴∠FAC=60°．
∵∠ECF=60°，即∠ACE+∠ACF=60°，
∴∠BCE=∠ACF，
在△ACF与△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}∠B=∠FAC\\ BC=AC\\∠BCE=∠ACF\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCE（ASA），
∴CF=CE，
∵∠ECF=60°，
∴△ECF是等边三角形；

（2）∵垂线段最短，
∴当CE⊥AB时△ECF周长最小．
∵BC=2，∠B=60°，
∴CE=BC•sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴△ECF周长的最小值=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是菱形的性质，熟知四条边都相等的平行四边形是菱形是解答此题的关键．