Question

有A，B，C，D，E五个队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权．比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分，小组中名次在前的两个队出线．小组赛结束后，A队的积分为9分． (1) A队的战绩是几胜几平几负? (2) 如果小组中有一个队的战绩为全胜，A队能否出线? (3) 如果小组中有一个队的积分为10分，A队能否出线? (4) 如果小组中积分最高的队积9分，A队能否出线?

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：设A队积分为9分时胜x场，平y场，则有解得故A队胜3场，负1场．
(2)	解：如果有一个队胜4场，则它积12分，并且名次列小组第一，不妨设这个队为B队．因此A队能否出线取决于C，D，E三队中是否有积分不少于9分的队．分析这三个队中任何一队的积分数m应满足的不等式关系，可以作这样的思考： 　　BA，而AC，AD，AE，AB，A积分9分；BC，AC，C队的积分不超过6分．同理，D，E的积分都不会超过6分，故A队积9分能出线．
(3)	解：如果小组中有一队的积分为10分，不妨设是B队，进行类似于(1)的讨论可知B队胜3平1，再分析A，B两队与他人交锋的结果得出其他三队中任何一队的积分数应满足的不等关系，比较m的最大可能值与9的大小，可以这样分析： AC，D，E，AB，A队积9分；BA，C，D，BE，B队积10分；EC，D，EB队积7分，则C，D，E当中最多可积分m＝7＜9，故A队能出线．
(4)	解：如果积分最高的队积9分，则积9分的队能有3个可以作这样分析： 　　AC，D，E，A队积9分；BA，D，E，B队积9分；CB，D，E，C队积9分；DE，D队积3分；E全负，E队积0分． 　　显然，当积9分的队少于3个时，A队一定能出线，当积分为9分的队为3个队时，A队不一定出线． 　　解题指导：各队都要进行4场比赛，并且甲对乙的比赛与乙对甲的比赛是同一场比赛，所以这个小组共要进行＝10(场)．如果每场比赛都分出胜负，则胜队得3分，负队得0分，两队得分的和为3分；如果每场比赛结果都为平局，每队各得1分．两队得分的和为2．设10场比赛后各队积分总和为n分，考虑其两种“极端”情况，则有n满足：2×10≤n≤10×3，即20≤n≤30．