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(2009•滨州)如图①,某产品标志的截面图形由一个等腰梯形和抛物线的一部分组成,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=20cm,DC=30CM,∠ADC=45度.对于抛物线部分,其顶点为CD的中点O,且过A、B两点,开口终端的连线MN平行且等于DC.
(1)如图①所示,在以点O为原点,直线OC为x轴的坐标系内,点C的坐标为(15,0),试求A、B两点的坐标;
(2)求标志的高度(即标志的最高点到梯形下底所在直线的距离);
(3)现根据实际情况,需在标志截面图形的梯形部分的外围均匀镀上一层厚度为3cm的保护膜,如图②,请在图中补充完整镀膜部分的示意图,并求出镀膜的外围周长.

【答案】分析:(1)可通过构建直角三角形来求A、B的坐标,作AE⊥DC,BF⊥DC,垂足分别为E、F;OF就是B点的横坐标,BF就是B点的纵坐标.不难得出OF=AB=10cm,在直角三角形BFC中,FC=(CD-AB)=5cm,∠BCF=45°,即可求出BF的长,也就得出了B点的坐标,A、B关于y轴对称,也就能求出A点的坐标;
(2)标志物的高度其实就是M、N两点的纵坐标.由于MN∥=CD,因此如果连接MD、NC,四边形MDCN就是矩形,那么M、N两点的坐标和D、C两点的横坐标相等,可根据A、B两点的坐标先确定出抛物线的解析式,然后根据抛物线的解析式来求出M、N两点的坐标,即可得出标志物的高度;
(3)经过画图不难得出镀膜外围的周长应该是四条线段和四段圆弧的长.四条线段就是梯形的周长,而四段圆弧分别是两个圆心角为45°半径为3cm的弧长(A,B两个顶点所对的弧长)以及两个圆心角为135°半径为3cm的弧长(C、D两个顶点所对的弧长).然后可根据各自的计算公式求出镀膜外围的周长.
解答:解:(1)作AE⊥DC,BF⊥DC,垂足分别为E,F,
∵AB∥DC
∴四边形AEFB为矩形
∴AE=BF,AB=EF=20
又∵AD=BC
∴Rt△ADE≌Rt△BCF(HL)
∴DE=FC=(30-20)=5
又∵∠ADE=∠BCF=45°
∴AE=BF=DE=FC=5
又∵OD=OC=15
∴OE=OF=10
∴点A,B的坐标分别为(-10,5),(10,5);

(2)设抛物线的函数解析式为y=ax2
由点B(10,5)在其图象上得5=100a,解得a=
∴抛物线的函数解析式为y=x2
又∵MN∥DC,且MN=CD
∴点M,N关于y轴对称
∴点N的横坐标为15,
代入y=x2得y=
故标志的高度为cm;

(3)镀膜示意图如下:
由示意图可知,镀膜外围周长l由四条线段长和四条半径为3cm的弧长构成,
故l=5×2+20+30+×2+×2=10+50+6π.
所以镀膜的外围周长为(10+50+6π)cm.
点评:本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、等腰梯形的性质,三角形全等等知识点,考查学生数形结合的数学思想方法.
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