Question

【题目】已知a、b是正数，且a+b＝2，则的最小值＝_____．

Answer 1

【答案】．

【解析】

由a+b=2，用a表示出b，将表示出的b代入所求的式子中，得到关于a的表达式，作出A关于直线l的对称点C，连接BC交直线l与点P，此时利用两点之间线段最短可得AP+PB=BC为最短，从而利用勾股定理，将表达式转化为直角三角形两斜边AP、BP的和，即BC的长，即为所求式子的最小值，故在直角三角形BCF中，由BF和CF的长，利用勾股定理求出BC即可得到结果

解：∵a+b=2，

∴b=2-a，代入得：

，

构造如下图形，如图，其中ED=2，AE=2，BD=1，AE⊥l，BD⊥l，

作出A关于直线l的对称点C，连接BC与直线l交于点P，此时AP+PB最短．

延长BD，过C作CF垂直于BC的延长线，垂足为F，

设PD=a，可得ED=2-a，

在Rt△AEP中，根据勾股定理得：

AP=，BP=则

=AP+BP，

当B、P、C三点共线时，因为直线l为线段AC的垂直平分线，

则AP+BP=CP+PB=BC，此时BC的长即为所求式子的最小值，

此时在Rt△CBF中，DF=EC=AE=2，故BF=BD+DF=1+2=3，CF=ED=2，

由勾股定理可求得BC==，

即最小值为.