Question

【题目】已知：关于x的方程x2-（m-1）x-2m2+m=0

（1）求证：无论m为何实数，方程总有实数根；

（2）若此方程有两个实数根x1，x2，且 x12+x22=2 ，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；

（2）m=1或m=-.

【解析】

（1）由根的判别式定理，当≥0时，方程有实数根证明即可；

（2）由根与系数的关系把x12+x22用含有字母m的代数式表示出来，然后组成新的含有m的一元二次方程，求解即可得m.

（1）证明：∵=[-（m-1）]2-4×1×（-2m2+m）=（3m-1）2≥0

∴无论m取何值，方程总有实数根；

（2）由（1）可知无论m取何值，方程总有实数根，由方程的根和系数的关系可得：

x1+x2=m-1，x1x2=-2m2+m，

∵x12+x22=2，

∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（m-1）2-2（-2m2+m）=5m2-4m+1=2，

∴5m2-4m-1=0即（m-1）（5m+1）=0，

解得m1=1,m2=-.