Question

【题目】如图，C为∠AOB的边OA上一点，OC=6，N为边OB上异于点O的一动点，P是线段CN上一点，过点P分别作PQ∥OA交OB于点Q，PM∥OB交OA于点M．

（1）若∠AOB=45°，OM=4，OQ=，求证：CN⊥OB；

（2）当点N在边OB上运动时，四边形OMPQ始终保持为菱形．

①问：的值是否发生变化？如果变化，求出其取值范围；如果不变，请说明理由；

②设菱形OMPQ的面积为S1，△NOC的面积为S2，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①不会变化，见解析，②0＜＜

【解析】

（1）过P作PE⊥OA于E，NF⊥OA，先判断四边形OMPQ为平行四边形，再用锐角三角函数求出∠PCE=45°，即可；

（2）①由四边形OQPM是菱形，设OM=x，ON=y，则有OQ=QP=OM=x，NQ=y-x，由相似三角形的判定可证△NQP∽△NOC，即，继而即可得的值不发生变化；

②过P作PE⊥OA，过N作NF⊥OA，先判断出△CPM∽△CNO再得到比例式，求解即可．

解：（1）如图1，

过P作PE⊥OA于E，NF⊥OA，

∵PQ∥OA，PM∥OB，

∴四边形OMPQ为平行四边形，

∴PM=OQ= ，∠PME=∠AOB=45°，

∴PE=PMsin45°=1，ME=1，

∴CE=OC－OM－ME=1，

∴tan∠PCE= =1，

∴∠PCE=45°，

∴∠CNO=90°，

∴CN⊥OB；

（2）①的值不发生变化，

理由：设OM=x，ON=y，

∵四边形OMPQ为菱形，

∴OQ=QP=OM=x，NQ=y-x，

∵PQ∥OA，

∴∠NQP=∠O，

∵∠QNP=∠ONC，

∴△NQP∽△NOC，

∴ ，

∴ ，

∴6y－6x=xy，

∴，

∴；

②如图2，

过P作PE⊥OA，过N作NF⊥OA，

∴S1=OM×PE，S2= OC×NF，

∴，

∵PM∥OB，

∴∠PMC=∠NOC，

∵∠PCM=∠NCO，

∴△CPM∽△CNO，

∴ ，

∴ ，

∵0＜x＜6，

∴0＜＜．