Question

如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC=CD，AD=

3

CD
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）首先连接OC，BC，易证得△OAC∽△CAD，由AB是直径，易求得cos∠A=

3

2

，sin∠ABC=

3

2

，继而求得各角的度数，继而证得CD是⊙O的切线；
（2）由⊙O的半径为2，利用三角函数的性质，可求得CD的长，然后由S_阴影=S_△OCD-S_扇形BOC，求得答案．

解答：解：（1）连接OC，BC，
∵AC=CD，OA=OC，
∴∠A=∠D，∠A=∠OCA，
∴∠A=∠D=∠OCA，
∴△OAC∽△CAD，
∴AC：AD=OA：AC，
∵AD=

3

CD，
∴OA：OC=1：

3

，
∵AB=2OA，
∴

AC

AD

=

3

2

，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，且cos∠A=

3

2

，sin∠ABC=

3

2

，
∴∠A=∠ACO=∠D=30°，∠ABC=60°，
∵OC=OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠OCB=180°-∠D-∠BOC=90°，
即OC⊥CD，
∵C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；

（2）∵⊙O的半径为2，
∴OC=2，
在Rt△OCB中，∠D=30°，
∴CD=

OC

tan30°

=2

3

，
∴S_阴影=S_△OCD-S_扇形BOC=

1

2

×2×2

3

-

60

360

×π×2²=2

3

-

2

3

π．

点评：此题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、扇形面积以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．