Question

已知一元二次方程x²-2x-k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x²-6x+k=0与x²-mx-12=0有一个相同的根，求此时m的值．

Answer 1

解：（1）∵一元二次方程x²-2x-k=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即（-2）²-4×1×（-k）＞0，解得k＞-1，
即k的取值范围为k＞-1；
（2）∵k＞-1，
∴k的最大整数为0，
∴一元二次方程x²-6x+k=0变形为x²-6x=0，则x（x-6）=0，
∴x₁=0，x₂=6，
把x=0代入方程x²-mx-12=0，得-12=0，无解，
把x=6代入方程x²-mx-12=0，得36-6m-12=0，解得m=4，
即此时m的值为4．
分析：（1）由于一元二次方程x²-2x-k=0有两个不相等的实数根，根据△的意义得到△＞0，即（-2）²-4×1×（-k）＞0，然后解不等式得到k的取值范围为k＞-1；
（2）k＞-1的最大整数为0，把k=0代入一元二次方程x²-6x+k=0得到x²-6x=0，解方程得x₁=0，x₂=6，然后把它们分别代入方程x²-mx-12=0，再解关于m的方程即可．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解的意义．