Question

如图，在△ABD中，∠A=∠B=30°，以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O交AB于C．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）连接CD，若CD=5，求AB的长．

Answer 1

（1）直线BD与⊙O相切．理由如下：
解：如图，连接OD，
∵∠ODA=∠DAB=∠B=30°，
∴∠ODB=180°-∠ODA-∠DAB-∠B
=180°-30°-30°-30°=90°，
即OD⊥BD，
∴直线BD与⊙O相切；
（2）解：由（1）知，∠ODA=∠DAB=30°，
∴∠DOB=∠ODA+∠DAB=60°，
又∵OC=OD，
∴△DOC是等边三角形，
∴OA=OD=CD=5．
又∵∠B=30°，∠ODB=90°，
∴OB=2OD=10．
∴AB=OA+OB=5+10=15．
分析：（1）直线BD与⊙O相切．连接OD，由已知条件证明OD⊥BD，即可
（2）由（1）知，∠ODA=∠DAB=30°，又因为圆的半径相等所以可证明△DOC是等边三角形，利用直角三角形的性质和等边三角形的性质即可求出AB的长．
点评：本题考查了切线的判定和性质以及等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质，题目的综合性不小，难度不大．